工繊大の塚本です.

In article <juflnn$cgp$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Prop192.12005の題意での条件はRe(x)>0ではなく
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__03.jpg
> でも大丈夫なようです。特に証明内でRe(x)>0でなくても何ら影響を与えませんので。 

使うのは実数 x が正のときだけ, ということを忘れなければ,
 u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) の性質は, x が実数というだけで
同じいというのはそうです.

> In article <120718204716.M0232229@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > だから, u = 0 のどんな近傍でも良いですから,
> > \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1)
> > の成立が分かれば,
> 
> すいません。意味が分かりません。

それはそれで構いませんが,

> たとえば|u|<2πから|u|<2の範囲に縮めて,
> 0<x≦1では |B_n(x)/n!|≦1/2^nでしたから
> 0<x≦1の時,|(B_n(x)/n!)u^n|≦(1/2^n)u^nが成立ち
> |u|<2の時,Σ_{n=0}^∞(1/2^n)u^n=Σ_{n=0}^∞(u/2)^n=1/(1-u/2)∈Rですから
> WeierstrassのM-testより,Σ_{n=0}^∞u^nB_n(x)/n!は0<x≦1の時,
> |u|<2の範囲で一様収束するので,項別微分可能となり,
> (∂^h/∂x^h Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!)|_{x=0}=(∂^h/∂x^h 
> uexp(xu)/(exp(u)-1))|_{x=0}成立を突破でき, 最終的に0<x≦1且つ|u|<2の範囲で
> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立が言えますね。

項別微分が可能であろうが何であろうが,
 Bernulli 数や B_n(x) がどのように定義されているか,
の議論なしに, そんな式の成立は証明できないでしょう.

> > 後者の |u| < 2 \pi での正則性から,
> > 前者の収束半径が 2 \pi 以上であることが分かり,
> > 後は何も示す必要がない筈です.
> 
> え?  |u|<2の範囲で
> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立が分かったら
> 後者uexp(xu)/(exp(u)-1)が|u|<2πで正則が分かったら
> (これは簡単だと思いますが)どうして|u|<2πの範囲でも
> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立の拡張が可能なのでしょうか?

ベキ級数展開は一意的ですから.

> お蔭様で上手くいきました。
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1206__00.jpg

それは収束半径とはどのようなものであるか, の一般論に
過ぎませんから,
 
> > そもそも, そういう話が必要ですか.

と申し上げたわけです.

> はい。Prop192.1206のお陰でProp192.121の一番のネックだった箇所が
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__03.jpg
> と漸く解決し,Prop192.121の証明は終わりました。
> 
> と思いきや,Prop192.1206を示すのにProp192.1205を使っていて
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1205__00.jpg
> Prop192.1205を証明するのに,Prop192.1203
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1203__00.jpg
> を使っていてこの中で最終的に示そうとしている
> Prop192.121を使ってしまっていて,ただの堂々巡りな丈でした。

おう, やっと,
 
> > B_n(x) を Bernoulli 数 B_n から
> > B_n(x) = \sum_{i=0}^n { n \choose i } B_i x^{n-i}
> > で定義するとき, \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
> > = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) となることを
> > 証明したいのであれば, 証明の中で
> >  \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1)
> > と言う式を使ってはいけません. つまり,
> > <http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__00.pdf>
> > は, 証明の一行目からして無意味です.

が御理解いただけましたか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp