工繊大の塚本と申します.

 B_n(x) を Bernoulli 数 B_n から
 B_n(x) = \sum_{i=0}^n { n \choose i } B_i x^{n-i}
で定義するとき, \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
 = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) となることを
証明したいのであれば, 証明の中で

  \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1)

と言う式を使ってはいけません. つまり,
<http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__00.pdf>
は, 証明の一行目からして無意味です.

In article <jtrupf$mip$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__00.pdf
> となったのですが上から5行目で
>  (∂^h/∂x^h) Σ_{n=0}^∞u^nB_n(x)/n! =Σ_{n=0}^∞(∂^h/∂x^h) u^nB_n(x)/n!
> と項別微分が可能なのでしょうか?
> この変形はΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!が一様収束するからだと思います。
> その為にWeierstrassのM-testを利用するのだと思いますが
> 優級数がどうしても見つけれません。
> |B_n(x)u^n/n!|はどんな優級数で抑えれるのでしょうか?

 0 < x \leq 1 では |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n が成立することは
注意しましたから, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n が
 |u| < 2 では収束することは分かりますので, そこから出発する
のも一つの手です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp