ご回答大変ありがとうございます。遅くなりまして申し訳ありません。


>>> 例によって, f = f^+ - f^- とすれば, f が可積分という仮定から f^+, f^- も可積分ですから,
>> その理由はというと,
> 0 ≦ f^+, f^- ≦ f^+ + f^- = |f| で, f が可積分とは
> |f| が可積分ということですから, f^+, f^- が可積分なのは
> 当たり前です.

「fが可積分 ⇔(def) fが可測関数且つ∫_X |f|<∞」ですね。
よってfが可積分⇒∫_X |f|dμ<∞ ⇒ ∫_X||f||dμ<∞(∵これは当たり前ですね)
⇒ |f|は可積分。
それでもってf^+とf^-とも非負で可測関数(∵某命題より)ですから∫_X
|f^+|dμ≦∫_X|f|dμ<0で可積分。
同様にf^-も可積分なのですね。


>>> 何処が分からない所でしょうか.
>> 線形結合でも成立する理由です。 上述の通り, μ積分の性質から
>> 線形結合でも成立するといっていいのでしょうか?
> 証明して御覧なさい.

了解いたしまた。
線形結合でも定理3.3が成り立つこてを示す。
f(x_1,x_2)とg(x_1,x_2)を可積関数,α,β∈Rとして(i),(ii),(iii)が成り立つとすると,
(i)については
a.e.x_2∈X_2でf^{x_2}とg^{x_2}は可測で∫_X_1 |f^{x_2}(x_1)|dμ_1<∞,∫_X_1
|g^{x_2}(x_1)|dμ_1<∞.
その時,a.e.x_2∈X_2でαf^{x_2}+βg^{x_2}も可測(∵某命題より),
そして∫_X_1 |(αf^{x_2}+βg^{x_2})(x_1)| dμ_1≦|α|∫_X_1
|f^{x_2}(x_1)|dμ_1+β∫_X_1 |g^{x_2}|dμ_1<∞.
で上手くいきました。
(ii)については
∫_X_2|∫_X_1 f(x_1,x_2)dμ_1|dμ_2<∞と∫_X_2|∫_X_1
g(x_1,x_2)dμ_1|dμ_2<∞とすると
∫_X_2|∫_X_1 (αf+βg)(x_1,x_2)dμ_1|dμ_2
< ∫_X_2(∫_X_1 |αf+βg)(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2
=∫_X_2(|α|∫_X_1 |f(x_1,x_2)|dμ_1+|β|∫_X_1 |g(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2(∵μ積分の性
質)
=∫_X_2(|α|∫_X_1 |f(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2+∫_X_2(|β|∫_X_1
|g(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2(∵μ積分の性質)
=|α|∫_X_2(∫_X_1 |f(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2+|β|∫_X_2(∫_X_1
|g(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2(∵μ積分の性質)
<∞でこれも上手くいきました。
(iii)については
∫_X_2(∫_X_1 f(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2=∫_{X_1×X_2}fd(μ_1×μ_2),
∫_X_2(∫_X_1 g(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2=∫_{X_1×X_2}gd(μ_1×μ_2)と書け,
∫_X_2(∫_X_1 (αf+βg)(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2
=∫_X_2(α∫_X_1f(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2+∫_X_2(β∫_X_1g(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2(∵μ積分の性
質)
=α∫_X_2(∫_X_1f(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2+β∫_X_2(∫_X_1g(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2(∵μ積分の性
質)

=α∫_{X_1×X_2}fd(μ_1×μ_2)+β∫_{X_1×X_2}gd(μ_1×μ_2)(∵仮定)
=∫_{X_1×X_2}(αf+βg)d(μ_1×μ_2)(∵μ積分の性質)
でうまくいってます。
つまり,定理3.2は線形性が成り立つのですね。

よって特性関数で定理3.3が成り立つならば単関数でも成り立つ事が言えますね。

よってf(x_1,x_2)が一般の関数はf=f^+-f^- (但し,f^±=max{±f,0})と線形結合で表されるので一般の場合でもも定理
3.3は成り立つのですね。

>> とりあえず,Chapter2のFubiniの定理についてです。
：
> 置き換えるのではなく, 貴方が訳したように,

ありがとうございます。了解いたしました。

>> f=χ_Eの時,但し,Eは有限測度の集合, 我々が証明したい事はPorposition3.2
>> に含まれている。 従って,求められる結果も単関数に対して成り立つ。 従って,単調収束定理よ り全ての非負関数について成り立ち, 定理が証明された』
> の手順に従って, 定理が成立する関数 f の範囲を
> 順次広げていくのです. それは Chapter 2 でと
> 同じやり方です.

[i] 可積な特性関数で定理3.3が成り立つ事を示す。
fは可積てしてあるのでf:=χ_E…(*) (但し,Eの測度は有限((μ_1×μ_2)(E)<∞…①と仮定)と置くと,
(i) については
a.e.x_2∈X_2でf^{x_2}=χ_{E^{x_2}}と書け,E^{x_2}はμ_1可測集合…(**)なので(命題3.2)
この特性関数はμ_1可測関数 …②(∵命題3.2)。
よって∫_X_1 |f^{x_2}(x_1)|dμ_1=∫_X_1 f^{x_2}(x_1)dμ_1(∵0≦f^{x_2})
=∫_X_1 χ_{E^{x_2}}(x_1)dμ_1=μ_1(E^{x_2})<∞ …③
(∵①と積測度の定義「μ_1(E^{x_2}),μ_2(E^{x_1})<∞なら(μ_1×μ_2)(E)」,)
よって②,③からf^{x_2}(x_1)はμ_1可積関数で(i)が言えた。

(ii)については
③より∫_X_1 f^{x_2}(x_1)dμ_1=μ_1(E^{x_2}) と分かったので
μ_1(E^{x_2})(<∞)がμ_2可積である事を言えばよい。
Eは(μ_1×μ_2)可測集合なのでE^{x_2}はμ_2可測集合で(∵(**)),
μ_1(E^{x_2})はμ_1可測関数…④(∵命題3.2)
そして ∫_X_2|μ_1(E^{x_2})|dμ_2<∞を示す。
∫_X_2|μ_1(E^{x_2})|dμ_2=∫_X_2μ_1(E^{x_2})dμ_2(∵0≦μ_1(E^{x_2})(∵測度の定義))
=(μ_1×μ_2)(E)(∵命題3.2)<∞(∵①).　よって(ii)が示された。

(iii)については
(ii)より∫_X_2(∫_X_1 f^{x_2}(x_1)dμ_1)dμ_2=(μ_1×μ_2)(E)と分かったので
(μ_1×μ_2)(E)=∫_{X_1×X_2}χ_Ed(μ_1×μ_2)(∵特性関数の積分の定義)
=∫_{X_1×X_2}fd(μ_1×μ_2)(∵(*))
よって特性関数において定理3.3が成り立った。

従って,上述の通り線形結合で定理3.3は成り立つのでfが可積な単関数の時も成り立つ。

続いて
[ii] 非負可積関数f(x_1,x_2)においても定理3.3が成り立つ事を示す。
0≦f_n↑f<∞なる(X_1×X_2⊃)Eで可積単関数列{f_n}={Σ_{i=1}^{m,n} a_{i,n}χ_{E_{i,n}}とする
(この時,Eの測度は有限(∵μ可積の定義))。
(i)については
a.e.x_2∈X_2に於いて,f_n^{x_2}はμ_1可積と分かっているのでf_n^{x_2}はμ_1可測関数(∵μ可積の定義)。
よってlim_{n→∞}f_n^{x_2}=f^{x_2}もa.e.x_2∈X_2でμ_1可測関数…②'。
次に∫_X_1|f^{x_2}(x_1)|dμ_1<∞を示す。
∫_X_1|f^{x_2}(x_1)|dμ_1=l∫_X_1f^{x_2}(x_1)dμ_1 (∵仮定0≦f)
=∫_X_1lim_{n→∞}f_n^{x_2}(x_1)dμ_1
=lim_{n→∞}∫_X_1f_n^{x_2}(x_1)dμ_1(∵単調収束定理)
=lim_{n→∞}∫_X_1(Σ_{i=1}^{m,n} a_{i,n}χ_{E_{i,n}^{x_2})(x_1)dμ_1
=lim_{n→∞}Σ_{i=1}^{m,n} a_{i,n}(μ_1×μ_2)(E_{i,n}^{x_2}) (∵単関数の積分の定義)
<∞(∵もしa.e.x_2∈X_2において=∞なら∫_{X_1×X_2}f(x_1,x_2)d(μ_1×μ_2)=∞となり仮定に矛盾)

と苦し紛れですがこれでもいいでしょうか?

(ii)については
[ii]の(i)より(∫_X_1|f^{x_2}(x_1)|dμ_1=)∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1<∞ が分かったので
∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1がμ_1可測である事と
(∫_X_2(∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1)dμ_2=)∫_X_2|∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1|
dμ_2<∞を言えばよい。
前者については
∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1=∫_X_1lim_{n→∞}f_n^{x_2}(x_1) dμ_1
=lim_{n→∞}∫_X_1f_n^{x_2}(x_1) dμ_1で(∵単調収束定理)
∫_X_1f_n^{x_2}(x_1) dμ_1がμ_1可測関数である事は既知なので
lim_{n→∞}∫_X_1f_n^{x_2}(x_1) dμ_1もμ_1可測関数(∵某命題)
即ち,∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1はμ_1可測関数。
後者については|∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1|<∫_X_1|f^{x_2}(x_1)|dμ_1<∞(∵[ii]の(i)))は
すぐに言え,
∫_X_2(∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1)dμ_2=∫_X_2(∫_X_1 lim_{n→∞}f_n^{x_2}(x_1)
dμ_1)dμ_2
=∫_X_2 lim_{n→∞}(∫_X_1f_n^{x_2}(x_1) dμ_1)dμ_2(∵単調収束定理)
=lim_{n→∞}∫_X_2 (∫_X_1f_n^{x_2}(x_1) dμ_1)dμ_2
(∵f_n^{x_2}は非負単調増加なので∫_X_1f_n^{x_2}(x_1) dμ_1も非負単調増加(∵単調収束定理))
<∞(∵もしa.e.x_2∈X_2において=∞なら∫_{X_1×X_2}f(x_1,x_2)d(μ_1×μ_2)=∞となり仮定に矛盾)
よって前者・後者が成り立ったので∫_X_1 f^{x_2}(x_1) dμ_1はμ_2可積。

となったのですが…

(iii)については
[ii]の(ii)より∫_X_2(∫_X_1 f^{x_2}(x_1)dμ_1)dμ_2=(μ_1×μ_2)(E)(∵命題3.2?)
=∫_{X_1×X_2}χ_Ed(μ_1×μ_2)(∵特性関数の積分の定義)
=∫_{X_1×X_2}f(x_1,x_2)d(μ_1×μ_2)(∵fの定義)
よって(iii)は成り立つ。

[iii] 一般の可積関数fに於いてはf=f^+-f^-と書け,f^+とf^-は非負可測関数になるので[iii]より定理3.3の(i),
(ii),(iii)を満たす。
従って,線形結合でも定理3.3は成り立つ事からfに於いても定理3.3は成り立つ。

すいません。このような感じで宜しいでしょうか?