いつも大変お世話になっています。

[Proposition3.2] If E is an arbitrary measurable  set in X,then the
conclusion of Proposition 3.1 are still valid except that we only
assert that E^{x_2} is μ_1-measurable and μ_1(E^{x_2}) is defined for
almost every x_2∈X_2.
は前記事
http://groups.google.co.jp/group/fj.sci.math/browse_thread/thread/af1b49812d557bfc?hl=ja#
で解決済みです。

[Theorem3.3] In the setting above ,supppose f(x_1,x_2) in an
integrable function  on (X_1×X_2,μ_1×μ_2).
(i) For almost every  x_2∈X_2,the slice f^{x_2}(x_1)=f(x_1,x_2) is an
integrable function on (X_1,μ_1).
(ii) ∫_{X_1} f(x_1,x_2)dμ_1 is an integrable fucntion on X_2.
(iii) ∫_{X_2}(∫_{X_1}f(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2=∫_{X_1×X_2} fd(μ_1×μ_2)
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/theorem3_3.jpg
についての質問です。

『もし,求められる結論が有限個の関数について成り立つならそれらも線形結合に対して成り立つ。特にfは非負と仮定して十分である。
f=χ_Eの時,但し,Eは有限測度の集合,我々が証明したい事はPorposition3.2に含まれている。従って,求められる結果も単関数に対し
て成り立つ。従って,単調収束定理より全ての非負関数について成り立ち,定理が証明された』

が証明部分の訳になろうかと思います。線形結合云々とか何の事かよく分かりません。

(i)については∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_1<∞を示せばいいのですよね。
f(x_1,x_2)が可積なので∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)<∞という事ですよね。
よって∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)に対してFubiniの定理が使えて(σ有限の仮定が見当たらないのです
がFubiniの定理は使えるでしょうか),
∞>∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)=∫_{X_2}(∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_2)
dμ_1でもしa.e.x_2∈X_2で∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_1=∞なら
任意の零集合Zに対して∀x_2∈X_2＼Z (μ_2(X_2＼Z)>0)に対して∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_1=∞という事なの
で0<|f(x_1,x_2)|
∫_{X_2}(∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_2)dμ_1=∫_{X_1}(∫_{X_2}|f(x_1,x_2)|dμ_1)
dμ_2
=∫_{X_1＼Z}(∫_{X_2}|f(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2=∞となり,矛盾。よってa.e.x_2∈X_2でf
(x_1,x_2)は可積となったのですがこれでもいいのでしょうか?

(ii) については∀x_2∈X_2で∫_{X_1} f(x_1,x_2)dμ_1が可積(∫_{X_2}|∫_{X_1} |f
(x_1,x_2)|dμ_1|dμ_2<∞)である事を言えばいいのだと思います。
∫_{X_2}|∫_{X_1} |f(x_1,x_2)|dμ_1|dμ_2=∫_{X_2}∫_{X_1} |f(x_1,x_2)|
dμ_1dμ_2(∵∫_{X_1} |f(x_1,x_2)|dμ_2≧0)
=∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)(∵(∵仮定(f(x_1,x_2)はX_1×X_2で可積))より
Fubiniの定理)
<∞(∵仮定(f(x_1,x_2)はX_1×X_2で可積))
∴ ∀x_2∈X_2で∫_{X_1} f(x_1,x_2)dμ_1は可積な関数
となったのですがこれでいいでしょうか?

(iii) については仮定f(x_1,x_2) in an integrable function  on (X_1×X_2,μ_1×μ_2)
からFubiniの定理で言えると思います。

勘違いしておりませんでしょうか?

吉田京子