KOOLERこと倉橋です。

恥は掛け捨てのつもりで・・・・
ちなみに、
lim
(x,y)->(0,0)  を省略してあります。

まず、ｙ＾ｘ＝１が成立しているので、
ｘ*(log ｙ)＝log 1
ｘ＝（log 1)/(log ｙ）

Z=x^y　です、ので
log Z＝ｙlog ｘ
　　　　＝y*log((log 1)/(log ｙ））
　　　　＝−y*log(（log y）/（log 1))
ここで、ロピタルの定理を利用するために
式を変形して、ロピタルの定理を利用します。
　　　　
log Z＝（log（（log y）/（log １）））’/（−１/ｙ）’
ここで、’は微分の記号です。

　＝（（log 1/log ｙ）・（１/log 1）・（１/ｙ））/（１/ｙ＾２）
　＝ｙ/log ｙ
　＝０
log Ｚ＝０
Ｚ＝ｘ＾ｙ＝１　となり、
ｙ＾ｘ=1が成り立つとき、同時にｘ＾ｙ＝１がなりたちます。が、存在するかはわかりません