ご回答大変有難うございます。

>> これからどうすれば矛盾が引き出せますでしょうか?
> Borel 集合 A ⊂ R^d について m_d(A) > 0 であれば,
> A の Haudorff 次元は d であり,

これは大変参考になります。

> α < d なる α について m_α(A) = ∞ であることが
> 知られています.
> これから導いては如何でしょうか. 勿論, 上記のことも
> 証明が必要ですが.

∪_{n=1}^∞ E_n=R^dでE_n↑R^dなる任意のBorel集合列{E_n}についてm_d(E_n)>0なるn∈Nがある事が言えれば
m_α(E_n)=∞となるので
m_d(E_n)>0なるn∈Nの存在を言えばいいのですよね。
背理法で示してみますと
もし,Borel集合E_n≠φなる任意のn∈Nに対してm_d(E_n)=0だったとすると
0=m_d(E_n)=m_d^*(E_n)=lim{ε→∞}inf{Σ_{k=1}^∞ (diamF_k)^d;E_n⊂∪_{k=1}^∞
F_k,diamF_k<ε for all k}
からどんな矛盾が引き出せますでしょうか?