デデキントの切断や実数の完備性が嫌いな数学素人の解答です。

>　「級数 Σ|a_n| が収束するなら Σa_n も収束することを示せ」
>という問題をやったのですが、皆さんならこれにどう解答されますか

数値が無限桁であることも許すものとして、Σa_n が、ある数値 A に収束することを、
下のように定義します。

　　Sn ≡ Σ0 to n  a_n としたとき、ある無限桁かもしれない数値に Sn が限りなく近づいていく

さて RSAbs_n ≡ Σ n to ∞ |a_n| としたとき、Σ|a_n|が収束するならば 
RSAbs_n は限りなく 0 に収束していく。一方で RS_n ≡ Σ n to ∞ a_n としたと
き、 |RSn| <= RSAbs_n であり、RS_n も限りなく 0 に収束していく。また 
Σ a_n == Sn-1 + RS_n も成り立つ。

以上のことをふまえると、任意に与えられた ε>0 に対して適当な N が存在して

　　Σ a_n == Sn-1 + RS_n、 |RS_n| < ε for ∀n > N

とできる。すなわち、任意の指定した桁数に対して適当な N があり、任意の n>N 
に対して Sn の値は指定した桁数まで一致させられる。すなわち、Σa_n が収束す
る無限桁かもしれない数値が存在する。

ゆえに、級数 Σ|a_n| が収束するなら Σa_n が収束する数値も存在する。

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小林憲次
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