ご回答誠にありがとうございます。


> いや, f_n ≧ 0 でなくても良い, f_n ≧ 0 μ-a.e. であれば
> 十分である, ということは注意しておくべきことです. 既に
> 注意されていないのであれば, 解答者がそれを示すことも
> 要求されているでしょう.

そうでしたか。了解いたしました。


> f(x) が有限であれば, 十分大きな n について 0 ≦ f(x) < n で,
> そのとき 0 ≦ f(x) - f_n(x) < 1/2^n となります.
> ハサミウチの原理で lim_{n→∞} f_n(x) = f(x) です.
> f(x) = +∞ であれば, 任意の n について f(x) ≧ n であり,
> f_n(x) = n ですから, lim_{n→∞} f_n(x) = +∞ = f(x) となり,
> やはり収束します.
> # こういった積分論では, 通常, 関数はその値を
> # 拡大実数直線 [-∞, +∞] に取るものとしています.

大変ありがとうございます。納得です。


実はこの問題は
(i) 全f_nがL^1(μ):={f;fはΣ可測,∫_Ω|f_n(x)|dμ<∞}の場合
と
(ii) 全てのf_nがL^1(μ)の場合とは限らない(例えば∫_Ω|f(x)|dμ=∞)場合
とに分けて両方の場合でも定理が成立する事を示さないといけないらしいのです。

どこをどう書き換えればいいのか分からず困っています。
どうかお助けください。m(_ _)m