工繊大の塚本です.

In article <752494cc-f41f-486c-9356-8bbbfed9125f@k1g2000prb.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> なるほど。特にこの条件は必要な訳ではないんですね。
> (出題者が単に解答者を惑わす為?)

いや, f_n ≧ 0 でなくても良い, f_n ≧ 0 μ-a.e. であれば
十分である, ということは注意しておくべきことです. 既に
注意されていないのであれば, 解答者がそれを示すことも
要求されているでしょう.

> In article <081120174000.M0129842@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > が成り立つからです. 実際, 1 ≦ i ≦ n 2^n の自然数 i について,
> >  E_{n, i} = { x | (i - 1)/2^n ≦ f(x) < i/2^n }
> > とおき,
> >  F_n = { x | f(x) ≧ n }
> > として,
> >  f_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n 1_{E_{n, i}} + n 1_{F_n}
> > とすれば良いことが分かります. ここで 1_A は A の特性関数です.
> 
> >  これが単調増加で f に収束することは容易に示せます.
> 
> n→∞にするとf_n→fになるんですよね。
> すいません。どうやって示せますでしょうか?

 f(x) が有限であれば, 十分大きな n について 0 ≦ f(x) < n で,
そのとき 0 ≦ f(x) - f_n(x) < 1/2^n となります.
ハサミウチの原理で lim_{n→∞} f_n(x) = f(x) です.

 f(x) = +∞ であれば, 任意の n について f(x) ≧ n であり,
 f_n(x) = n ですから, lim_{n→∞} f_n(x) = +∞ = f(x) となり,
やはり収束します.

# こういった積分論では, 通常, 関数はその値を
# 拡大実数直線 [-∞, +∞] に取るものとしています.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp