ご回答大変有難うございます。

> (R, M, dx) は有限測度の空間ではありません.

私の積分での測度はLegesgue測度でRでは有限ではありませんね。
なので私の例は反例になり得ませんね。
有難うございます。

> 有限測度の空間で反例を作って下さい.

X=[0,1],μ:=m(但し,mはLegesgue測度)とすると m([0,1])=1-0=1<∞で
f_n(x)=sin(1/x)+1 (1/n≦x≦1の時), 0 (それ以外の時)
とすると
f_n→sin(1/x)+1 a.e.で∫_[0,1]|f_n|dm<∞なのでf_nは積分確定ですが,
∫_[0,1] sinx dxは積分不確定なので偽。

でいいのでしょうか?