工繊大の塚本と申します.

In article <f841c514-99a9-44a0-b32d-1ea677cfad5e@e23g2000vbe.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Let (X,M,μ) be a finite measure space and let f,f_n:X→[-∞,∞],n=1,2,…,
> be measurable functions. Label each of the following statements as
> TRUE or FALSE.
> (a) If f_n→f a.e,then ∫f_n→∫f.
> (b) If f_n→f a.e. and |f_n|≦1,then ∫f_n→∫f.
> 
> という問題についてです。
> 
> (a)はFALSEですね。反例として,
> f_1=sinx (0≦x≦π/2の時),0 (それ以外の時),
> f_2=sinx (-π/2≦x≦πの時),0 (それ以外の時),
> f_3=sinx (-π≦x≦πの時),0 (それ以外の時),
> f_4=sinx (-π≦x≦3π/2の時),0 (それ以外の時),
> ：
> とするとf_n→sinx a.e.で∫f_n∈Rですが∫fは積分不確定なので
> 「∫f」.は偽で「∫f_n→∫f.」も偽で,「If f_n→f a.e,then ∫f_n→∫f.」も偽。
> 
> となりました。

 (R, M, dx) は有限測度の空間ではありません.
有限測度の空間で反例を作って下さい.
 
> (b)についても(a)の|sinx|≦1なのでそのまま反例になるかと思いましたが,
> これは有界収束定理が使えてTRUEが正解のようです。
> 
> どうして,(a)の反例がここでは使えないのでしょうか?

有限測度の空間ではないからですね.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp