工繊大の塚本です.

In article <c5b1dbdc-630c-4e59-a181-be4dbe21318b@s31g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> X=[0,1],μ:=m(但し,mはLegesgue測度)とすると m([0,1])=1-0=1<∞で
> f_n(x)=sin(1/x)+1 (1/n≦x≦1の時), 0 (それ以外の時)
> とすると
> f_n→sin(1/x)+1 a.e.で∫_[0,1]|f_n|dm<∞なのでf_nは積分確定ですが,
> ∫_[0,1] sinx dxは積分不確定なので偽。
> 
> でいいのでしょうか?

 0 ≦ sin(1/x) + 1 ≦ 2 ですから, f_n も f も同じく有界です.
問題の後半部のように有界収束定理で
 lim_{n→∞} ∫_{[0, 1]} f_n(x) dx = ∫_{[0, 1]} f(x) dx
が成立します. ∫_{[0, 1]} sin(1/x) dx は問題なく積分が決まります.

例としては有界でないものを考えないといけないわけです.
 f_n は有界でないが, f_n → 0 a.e. となるようなもので
例を作りましょう.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp