ご回答大変有難うございます。

> 実数体の代数拡大は複素数体しかないのです.

そうですね。実数係数多項式で複素数以外には解を持ちませんものね。

>> (a)についてはf(x)+<x^2+x+1>∈A (但し,f(x)∈R[x])と書けると思います。
>> このf(x)+<x^2+x+1>の逆元はどのようにして探せばいいのでしょうか?
> 探したいなら, f(x) を x^2 + x + 1 で割った余りを
> a x + b として, a x + b の逆元を探すのが良いでしょう.
> 探さなくても, x^2 + x + 1 が実数体上既約な多項式である
> ことから明らかではあります.

有難うございます。探さなくてもいいのですね。Kが体でK[x]∋f(x)がK上既約ならK[x]/f(x)は体は以前示した事があります。

>> (b)についてはc(但し,f(x)∈R[x])がAの類になると
>> 思いますが (∵類の定義) 何を証明すればいいのでしょうか?
> 上で述べたように, A の元(coset)の代表元として
> a x + b  (a, b ∈ R) の形のものが一意に取れる
> ことを示すのでしょうね.

Aの類をf(x)+<x^2+x+1>とすると,この類の元はf(x)+g(x)(x^2+x+1)という形(但しg(x)∈R[x])になる。
この時,∃! q(x),r(x)∈R[x;];f(x)+g(x)(x^2+x+1)=q(x)(x^2+x+1)+r(x);r(x)=ax+b
(∵Euclidの互除法)ですね。
よって,ax+b=f(x)+g(x)(x^2+x+1)-q(x)(x^2+x+1)=f(x)+(g(x)-q(x))(x^2+x+1)∈f
(x)+<x^2+x+1>.
従って,[ax+b]:={ax+b+h(x);h(x)∈<x^2+x+1>}=f(x)+<x^2+x+1>となるのですね。

>> (c)については何の環に環同型なのでしょうか?
> 複素数体です.

環同型写像ψ:R[x]/<x^2+x+1>→CをR[x]/<x^2+x+1>∋∀f(x)+<x^2+x+1>
→ψ(f(x)+<x^2+x+1>)=ψ([ax+b]):=a+bi
と定義すればいいのですね。

吉田京子