工繊大の塚本です.

In article <befbb78b-35a0-4fc8-aa6a-0ec608abf45c@s16g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Aの類をf(x)+<x^2+x+1>とすると,
> この類の元はf(x)+g(x)(x^2+x+1)という形(但しg(x)∈R[x])になる。
> この時,∃! q(x),r(x)∈R[x;];f(x)+g(x)(x^2+x+1)=q(x)(x^2+x+1)+r(x);r(x)=ax+b
> (∵Euclidの互除法)ですね。

 Euclid の互除法ではなく, 単なる割り算ですね.

> よって,ax+b=f(x)+g(x)(x^2+x+1)-q(x)(x^2+x+1)
> =f(x)+(g(x)-q(x))(x^2+x+1)∈f(x)+<x^2+x+1>.
> 従って,[ax+b]:={ax+b+h(x);h(x)∈<x^2+x+1>}=f(x)+<x^2+x+1>となるのですね。

 [f(x)] に対して [f(x)] = [a x + b] となる a, b ∈ R が
存在することはそれで良いですが, それが一意に決まることを
言うのにはもう一言必要でしょう.

> 環同型写像ψ:R[x]/<x^2+x+1>→CをR[x]/<x^2+x+1>∋∀f(x)+<x^2+x+1>
> →ψ(f(x)+<x^2+x+1>)=ψ([ax+b]):=a+bi
> と定義すればいいのですね。

駄目です. ψ([a x + b]) = a + bi とするのでは
環同型写像にはなりません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp