工繊大の塚本と申します.

In article <54e6d5cf-4a0b-44ec-91ec-03a666bf0095@j12g2000vbl.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Rを実数体とする。
> Consider the quotient ring A=R[x]/<x^2+x+1> (where <x^2+x+1>はx^2+x+1を生成
> 元とする単項イデアル)
> (a) Prove that A is a field.
> (b) Give a discription (with proof) of the cosets of A.
> (c) This ring is isomorphic to a well known ring S. What is S? You do
> not need to prove your assertion.
> 
> という問題です。

実数体の代数拡大は複素数体しかないのです.

> (a)についてはf(x)+<x^2+x+1>∈A (但し,f(x)∈R[x])と書けると思います。
> このf(x)+<x^2+x+1>の逆元はどのようにして探せばいいのでしょうか?

探したいなら, f(x) を x^2 + x + 1 で割った余りを
 a x + b として, a x + b の逆元を探すのが良いでしょう.

探さなくても, x^2 + x + 1 が実数体上既約な多項式である
ことから明らかではあります.

> (b)についてはf(x)+<x^2+x+1> (但し,f(x)∈R[x])がAの類になると思いますが
> (∵類の定義)
> 何を証明すればいいのでしょうか?

上で述べたように, A の元(coset)の代表元として
 a x + b  (a, b ∈ R) の形のものが一意に取れる
ことを示すのでしょうね.
 
> (c)については何の環に環同型なのでしょうか?

複素数体です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp