ご回答大変有難うございます。

>> このような議論ではダメなのでしょうか?
> 貴方は K_n(t) が定速度の曲線であることを忘れています.

そうでした。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Koch20090404.jpg
という風に各速度は異なりますが定速度でしたね。
図より|K_0(t)-K_1(t)|は斜辺より長くなる事は有り得ませんよね。従って,高々1/3と言えますね。
同様に|K_1(t)-K_2(t)|≦1/3^2となりますね。

> K_0(t) は t ∈ [0, 1/3] で 1/3 の部分を進みますが,
> K_1(t) 同じ部分を [0, 1/4] で進みます. t = 1/3 では
> 斜めの線を途中まで進んでいます. そういうことがあっても
> |K_1(t) - K_0(t)| ≦ 1/3 であることを示しておかないと
> いけません.

上記のようで宜しいでしょうか?

>> 連続関数列{K_j(t)}は一様Cauchy列をなすから一様収束し
>> 「連続関数列の一様収束する時,その極限関数も連続」を使えばいいのですね。
> 勿論, R^2-値関数についての命題としてです.

そうですね。

>> これはK~(t)は微分可能(滑らか)でLipschitz条件を
>> 満たしている?? これはどういう意味でしょうか?
> K~(t) は微分可能ではありません.

至る所で微分不可能なのですよね。

> しかし, Lipschitz 条件を
> 満たします. Lipschitz 条件というのは, 連続と微分可能の
> 間の中間的な条件であると考えられます.

なんかいまいちピンと来ませんが難しいんですね。

> 微分可能ではないが,
> 単に連続であるというよりも滑らか(regular)なのです.

regularというのはLipschitz条件的という意味だったのですね。

>> あと,{K_j(t)}が絶対収束する事はどうすれば示せますでしょうか?
>  K~(t) = K_1(t) + Σ_{j=1}^∞ (K_{j+1}(t) - K_j(t))
> の収束を示すのに,
>  Σ_{j=1}^∞ |K_{j+1}(t) - K_j(t)|
>  ≦ Σ_{j=1}^∞ (1/3)^j
> の収束から議論しているので,

これは
「 |K_{j+1}(t) - K_j(t)| ≦ 3^{-j} より, L < M とすれば,
：
≦ 3^{-L}/(1 - 3^{-1}) 」
の箇所ですね。
0<∀ε∈Rに対し,Lを適当に決めればΣ_{j=L}^∞ |K_{j+1}(t) - K_j(t)|は収束するから
Σ_{j=1}^∞ |K_{j+1}(t) - K_j(t)|についても収束する。

> それを absolutely and uniformly
> の収束であると述べているわけです.

絶対級数Σ_{j=1}^∞ |K_{j+1}(t) - K_j(t)|が収束した事から絶対収束したといってあるのですね。