工繊大の塚本です.

In article <81d5f8a3-ed4c-42c3-9dd5-348f05b538c7@u9g2000pre.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> K_0は0世代,K_1は1世代なので|K_1(t) - K_0(t)|=0(0≦t<1/3の時),
> √3(t-1/3)(1/3≦t<1/2の時),√3(2/3-t)(1/2≦t<2/3の時),0(2/3≦t≦1の時)
> となりますね。それでt=1/2の時に最大値.√3/6を採りますね。
> このような議論ではダメなのでしょうか?

貴方は K_n(t) が定速度の曲線であることを忘れています.
 K_0(t) は t ∈ [0, 1/3] で 1/3 の部分を進みますが,
 K_1(t) 同じ部分を [0, 1/4] で進みます. t = 1/3 では
斜めの線を途中まで進んでいます. そういうことがあっても
 |K_1(t) - K_0(t)| ≦ 1/3 であることを示しておかないと
いけません.

> In article <090419222721.M0206146@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > (R^2 に値をとる)連続関数列の一様収束極限は連続関数です.
> 
> 連続関数列{K_j(t)}は一様Cauchy列をなすから一様収束し
> 「連続関数列の一様収束する時,その極限関数も連続」を使えばいいのですね。

勿論, R^2-値関数についての命題としてです.

> > 単に連続というだけでなく, a regularity assumption that
> > takes the form of a Lipschitz condition を満たす,
> > つまり, 正確な形式的記述としては Lipschitz 条件と
> > して与えられる滑らかさについての条件を満たしている,
> > というわけです.
> 
> これはK~(t)は微分可能(滑らか)でLipschitz条件を満たしている??
> これはどういう意味でしょうか?

 K~(t) は微分可能ではありません. しかし, Lipschitz 条件を
満たします. Lipschitz 条件というのは, 連続と微分可能の
間の中間的な条件であると考えられます. 微分可能ではないが,
単に連続であるというよりも滑らか(regular)なのです.

> あと,{K_j(t)}が絶対収束する事はどうすれば示せますでしょうか?

  K~(t) = K_1(t) + Σ_{j=1}^∞ (K_{j+1}(t) - K_j(t))

の収束を示すのに,

  Σ_{j=1}^∞ |K_{j+1}(t) - K_j(t)|
  ≦ Σ_{j=1}^∞ (1/3)^j

の収束から議論しているので, それを absolutely and uniformly
の収束であると述べているわけです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp