工繊大の塚本と申します.

In article <0246bbd8-d9da-4c6e-9909-7b4febc2b554@a23g2000vbl.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p337_006.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p339_002.jpg
> Koch曲線を調べていて幾つか質問があります。
> 
> 『単位区間K_0=[0,1]を考えよ,そしてそれはxy平面のx軸に横たわっている。
> その時,Figure3のような多辺形の経路K_1を考えよ,
> そしてそれは長さ1/3の4本の線分と長さが等しい。

 それは長さ 1/3 の長さの等しい 4 線分から構成されている.

> 0≦t≦1をK_1(t)とすると,K_1のパラメータ表示は定速度を持つ。

 t を 0 ≦ t ≦ 1 で動かして, K_1(t) を K_1 の定速度での
径数付けとする.

> 言葉を変えるとtは0から1/4まで移動する。
> 点K_1(t)は最初(最左)の線分上を動く。

つまり, t が 0 から 1/4 まで動く時, 点 K_1(t) は第一の線分を動く.

> tが1/4から1/2まで動くに連れて,点K_1(t)は2番目の線分上を動く,など。

 t が 1/4 から 1/2 まで動く時, 点 K_2(t) は第二の線分を動く, など
とする.

> 特に,我々は0≦l≦4に於いてK_1(l/4)がK_1の5つの頂点に対応する事が分かる。

# この l は整数ですね.

> 　構築の第二ステージでは我々は
> 第一ステージでの各線分を多辺形経路の対応にすり替えて,前手順を繰り返す。

折れ線に置き換える操作を第一ステージでの各線分について繰り返す.

> するとFigure3のようなK_2での多辺形を得る。
> それは長さ1/9=3^-2の線分16=4^2本を持つ。
> 我々は定速度を持つK_2のパラメータ表示K_2(t)(0≦t≦1)を選ぶ。
> 0≦l≦4^2に於いて,K_2(l/4^2)がK_2の全頂点を与える事と
> K_1の頂点はK_2に 0≦l≦4に対してK_2(l/4)=K_1(l/4)
> という具合に含まれる事を観察せよ。
> この手順を無限に繰り返すと,
> 連続多辺形曲線列{K_j}(但し,K_jは長さ3^-jの4^j本の線分からなる)を得る。
> もし,K_j(t) (0≦t≦1)が定速度を持つK_jのパラメータ表示なら
> その頂点はきっかり点K_j(l/4^j)上にある。そして,
> 0≦l≦4^jに於いてj'≧jならK_j'(l/4^j)=K_j(l/4^j)である。
> 　j→∞の時のその極限で多辺形の線らK_jはvon Koch曲線に近づく。本当に,
> 任意の0≦t≦1,j≧0に対して|K_{j+1}(t)-K_j(t)|≦3^-jとなる。』
> これは第jステージにはひとピースが3^-jになりますね。

だから |K_1(t) - K_0(t)| ≦ 1/3 は示しておかないと
いけませんね.

> 『K_J(t)=K_1(t)+Σ_{j=1}^{J-1}(K_{j+1}(t)-K_j(t))と書けるので
> これの評価は級数
> K_1(t)+Σ_{j=1}^∞(K_{j+1}(t)-K_j(t))
> がK~のパラメータ表示である連続関数K~(t)に絶対一様収束する事を示す。』
> K~はKoch曲線の意味でしょうか?

そうですね.

> K_{j+1}(t)-K_j(t)は正だから

 K_j(t) は(2次元の)ベクトル値ですから, その差もベクトル値で
「正」というのは変ですね.

> lim_{n→∞}Σ_{j=1}^n (K_{j+1}(t)-K_j(t))が一様収束する事を確認
> すればいいですね。

 |K_{j+1}(t) - K_j(t)| ≦ 3^{-j} より, L < M とすれば,

  |K_M(t) - K_L(t)| = |Σ_{j=L}^{M-1} (K_{j+1}(t) - K_j(t))|
  ≦ Σ_{j=L}^{M-1} |K_{j+1}(t) - K_j(t)|
  ≦ Σ_{j=L}^{M-1} 3^{-j}
     = 3^{-L} (1 - 3^{- M + L})/(1 - 3^{-1})
     ≦ 3^{-L}/(1 - 3^{-1})

ですから,

> 一様収束の定義は「0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈E⇒|f(x)-f_n(x)|≦ε)」ですが
> 0<∀ε∈Rに対し,Lをどのように採ればいいのでしょうか?

 3^{-L}/(1 - 3^{-1}) < ε となるように取れば良いです.

> 『連続性に加え関数K~(t)はCantor-Lebesgue関数の時のように
> Lipschitz条件を満足する。,』
> ええと,これも|K~(t_1)-K~(t_2)|≦M|t_1-t_2|なる0<M∈Rが存在するのですね。

違います. γ = log 3/log 4 について,
 |K(t_1) - K(t_2)| ≦ M |t_1 - t_2|^γ なる 0 < M ∈ R が
存在するのです.

> Mとしてどんな値が採れますでしょうか?

 Theorem 2.7 の後に書いてある証明を見て, Cantor-Lebesgue
 function の時と比べると, 分かるのではないでしょうか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp