ご回答大変ありがとうございます。

> # u = 0 であれば, 任意の v について, w = v^2 とすれば解.
> # v = 0 であれば, 任意の u について, w = u^2 とすれば解.

そうでした。(0,0,0)以外にも解はありますね。

> 結局, v が 0 でない解は, u = 0 の解だけですから,
>  A = C = 0 となり, (x, y) = (0/v^2, 0/v^3) = (0, 0) だけが
> 解であることが分かります.

おかげさまで解決できました。