工繊大の塚本と申します.

In article <93b6cacf-3963-44be-baf4-67d03010b187@t35g2000yqj.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Rational Points on y^2=x^3+x Theoremという定理についての質問です。
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/341.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/343.jpg
> 
> に倣って下記のように証明を試みました。波線で囲ってある部分は
> A=C=0になる理由を述べています。
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop190_first.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop190_second.JPG
> 
> 順調に行っていたのですが最後でu=v=w=0となり,
> B=D=0でx=y=0/0 と分母も0という奇妙な形になってしまってます。
> AとCだけ0でB,Dは≠0になって欲しいのですがどうすればいいのでしょうか?

結局 u^4 + v^4 = w^2 の解の話に帰着されるのですが,
この方程式が trivial な解しか持たないといっても,
それは u = v = w = 0 だけが解ということではありません.
 Text にもちゃんと書いてあるように, u = 0 又は v = 0 の
解しかない, ということです.

# u = 0 であれば, 任意の v について, w = v^2 とすれば解.
# v = 0 であれば, 任意の u について, w = u^2 とすれば解.

結局, v が 0 でない解は, u = 0 の解だけですから,
 A = C = 0 となり, (x, y) = (0/v^2, 0/v^3) = (0, 0) だけが
解であることが分かります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp