ご回答誠に有難うございます。

>>> z/(e^z - 1) の z = 0 のまわりでの
>> "z=0のまわり"という事は
>> 任意の複素数z(任意の複素数はz=0の周りに在るから)で
>> Taylor展開可能という意味でしょうか?
> 違います. z/(e^z - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) z^n と
> z のベキでの展開を考えるということです.

あっ。"周り"というのは"中心にして"という意味だったのですね。

> z = z_0 のまわりでの Taylor 展開であれば,
> \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n と z - z_0 のベキでの
> 展開を考えることになります.
> なお, z/(e^z - 1) の z = 0 のまわりでの Taylor 展開の
> 収束半径は 2 \pi であることが分かります.

OKです。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop206__00.jpg
> Bernoulli 数の定義の所から間違っていますね.
> # まあ, そういう流儀があっても良いけれども,
> # ここの話とは違う.
>  z/(e^z - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) z^n
> が定義であるということを確認しておきます.

z/(e^z - 1) = Σ_{n=0}^∞ (B_n/n!) (-z)^nとしてしまってました。失礼いたしました。

> 右辺が収束半径の内部で項別微分可能であることを認めれば,

どうれすればΣ_{n=0}^∞d/dz B_n z^n/n!とΣ_{n=0}^∞d/dz nB_n z^{n-1}/(n-1)!がCで一様収束
である事が言えるのでしょうか?

>  (d^N/dz^N)(\sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) z^n)
>   = \sum_{n=N}^\infty n(n-1)(n-2)\cdots(n-N+1) (B_n/n!) z^{n-N}
> となり,
：
> 商の微分の公式ですね.
> そもそも B_3 = 0 は自明です.

すいません。ボケておりました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop206__07.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop206__08.jpg
となったのですが(d^2/dz^2(d^{2n+1}/dz^{2n+1}z/(exp(z)-1)))|_{z=0}からどうなるのでしょうか?
それとz/(exp(z)-1)が偶関数である事はどこで利用するのでしょうか?