工繊大の塚本と申します.

In article <341ea3f5-a4be-438e-910a-d96dc676503d@o8g2000yqp.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205__00.jpg
> がBernoulli数の定義だと思います。
> それでもってB_{2n+1}=0となる事を示していますが
> z/(exp(z)-1)-1+z/2が偶関数となる事から先に進めません。
> どうすればB_{2n+1}=0に持っていけるのでしょうか?

In article <b8b7cce1-b01c-4e77-a1d3-13360b9192a6@t7g2000vbv.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すみません。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_Bernoulli.jpg
> が正しいBernoulli数の定義です。

何度も言いますが, 無意味な普通には使われていない記号の導入は
訳を分からなくするだけですよ.

 z/(e^z - 1) の z = 0 のまわりでの Taylor 展開

  z/(e^z - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) z^n

により定義される B_n が Bernoulli 数で,
 (d^n/dz^n)(z/(e^z - 1))|_{z=0} = B_n です.
 f(z) = z/(e^z - 1) - 1 + z/2 が偶関数であることが分かれば,
偶関数については, 非負の整数 n に対して,

  (d^{2n+1}/dz^{2n+1})(f(z))|_{z=0} = 0

ですから, 任意の自然数 n について,

  B_{2n+1}
   = (d^{2n+1}/dz^{2n+1})(z/(e^z - 1))|_{z=0}
   = (d^{2n+1}/dz^{2n+1})(f(z) + 1 - z/2)|_{z=0}
   = 0

です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp