塚本さん wrote:
> In article <429D7C57.8030201@slis.tsukuba.ac.jp>
> Yuzuru Hiraga <hiraga@slis.tsukuba.ac.jp> writes:
>>そうそう。
>>そこで (p^2+q^2)/2 > | pq | が相加相乗。
> 
> 普通に考えると, p^2 - pq = q^2 - pq か p^2 - pq = pq - q^2
> で, 後者だと (p - q)^2 = 0 だから起きない, というだけ
> のような気もする.

りゃりゃ。い・け・ず。
方向性を特定しているわけではなくて、
だから「関係してたりする」なんですが。

0 < p < q として、
P での接線、直線 PQ、Q での接線の傾きは：
　　(0<) 2p < p+q < 2q
したがって PQ の中点を S とすれば、R は S より下にある。

　# 具体値は必ずしも必要ではなく、上の大小関係がわかれば十分。
　# あ、そうか、放物線からは「R の x 座標は P, Q の x 座標の中点」
　# だけわかれば、円に戻って SR は x 軸に直交、でおしまいか。

問題そのものはそれで終わりですが：
> # pq になることも覚えている…….

R の y 座標の値を求めれば、S の y 座標は (p^2+q^2)/2 だから、
　　(p^2+q^2)/2 > pq
であるわけで、相加相乗が得られる。
もちろん相加相乗を所与としてそれで問題のほうを解くのでもかまわない。

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(p-q)^2 を作るのは相加相乗の関係のスタンダードな証明方法ですが、
なんかつまらないなあ、という感じがある。

今の場合でも、(p^2+q^2)/2 = k は円、pq = k' は双曲線で、
円は原点外向きに凸（こういう言い方あり？）、
双曲線は原点内向きに凸はわかってるとして、
どちらも p, q について対称だから、k, k' を適当にとれば
両者は p=q 上で接する。k = k' とすれば両者は p=q 上で一致し、
接点以外の点では双曲線上の点のほうが円上の点より原点から遠い、
すなわち (p^2+q^2)/2 >= pq。

もちろん本来の (a+b)/2 と√(ab) についての話としてもよい。

以前にも書いたことですが、そもそも平均の話なのだから、
　　m = (a+b)/2
　　a = m+c, b=m-c
とすれば
　　ab = m^2 - c^2 <= m^2
であって、相加平均と相乗平均の食い違いと分散 c^2 のつながりが見える。
もちろん (a-b)^2 = 4c^2 ではあるのですが。

（平賀＠筑波大）