工繊大の塚本です.

In article <050531174150.M01368795@ims.kit.ac.jp>
Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> さて, 同じような分析を f(x) = x^4 について行うとどうなる
> でしょうか. 二重点が現れるのは y軸上だけでしょうか. h を
> 少しずつ大きくしていって, 尖点が四つ出て来始めた辺りでは
> 何が起こるでしょうか.

簡単な「幾何学的な考察」では中心が y軸の上にあることが
示せないということを確認していただけたか, 放物線 y = x^2
であることを考慮しての簡単な「幾何学的な考察」を発明し
ていただけるのか, はサテオキ.

高校生でも普通に出来ることというと, 代数でしょうか.

 (a, a^2) で放物線 y = x^2 に接する円は

  (x - (a - 2ka))^2 + (y - (a^2 + k))^2 = k^2(1 + 4a^2)

です.

  d^2(x) = (x - (a - 2ka))^2 + (x^2 - (a^2 + k))^2 - k^2(1 + 4a^2)

と置くと

  d^2(x) = (x - a)(x - a + 4ka) + (x - a)(x + a)(x^2 - a^2 - 2k)
  = (x - a)(x^3 + ax^2 - (a^2 + 2k -1)x - a^3 + (2k - 1)a)

 d^2(x) は (x - a)^2 で割り切れるはずですから, 組み立て
除法で

        1    a    -(a^2 + 2k - 1)    -a^3 + (2k - 1)a
             a               2a^2     a^3 - (2k - 1)a
     ------------------------------------------------
   a |  1   2a       a^2 - 2k + 1  |                0

より

  d^2(x) = (x - a)^2(x^2 + 2ax + a^2 - 2k + 1)

 x^2 + 2ax + a^2 - 2k + 1 = 0 が重解を持つ条件

  D/4 = a^2 - (a^2 - 2k + 1) = 2k - 1 = 0

より k = 1/2, 中心の座標は (a - 2(1/2)a, a^2 + (1/2))
 = (0, a^2 + 1/2) で y軸上にあり,

  k^2(1 + 4a^2) = 2^2

ならば 1 + 4a^2 = 16, a^2 = 15/4 で, 中心の座標は

  (0, 17/4)

となります.

# この議論で「問題がない」ことを示すのはお任せします.
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塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp