不完全ですが、

F((az + b)/(11cz + d)) = (11cz + d)^2 F(z)ならば
F((-az - b)/(-11cz -d)) = F((az + b)/(11cz + d)) = (11cz + d)^2 F(z) =
(11(-c)z + (-d))^2 F(z)
なので
[a   b]が証明できれば[-a   -b]が証明できる。
[11c d]　　　　　　　[-11c -d]

[a   b]| ad-11bc = 1
[11c d]
が与えられたとして
|c| = 0,1, |d| = 1は証明できているので|c|≧2, |d|≧2としてよい。
(c,d) =1なので c d'+d c' = 1となるc', d'∈Zが無数に存在し、ひとつの解を
c' = C, d' =Dとすると解はc'=C+td, d'=D-tc |t∈Zが解でdまたはc刻みで
c', d'を選ぶことができる。|c|,|d|≠0, 1よりc'≠0，d'≠0なので
min(|c|,|d|) > min(|c'|,|d'|) ≧ 1を満たすc', d'をとることができる。
(c',d')=1かつ『(11,d')=1 であれば』なので
a'd' - 11b'c' =1
となるa', b'∈Zがとれて
[a   b] = [11bc'+ad'   ab'+a'b][a'    -b']
[11c d]   [11        11b'c+a'd][-11c'  d']
と分解できる。以後同様に
c'd"+d'c"= 1 | min(|c'|,|d'|) > min(|c"|,|d"|) ≧ 1を満たす
c", d"がとれ、最後に|c|=1または|d|=1に帰着する。

『(11,d')=1であれば』が最後の関門です。

柳楽＠生物系