柳楽です。現状報告です。

> Tsukamoto Chiaki wrote:
>   
>>  [ 2 1] [ 3 1] [ 4 1] [ 5 4] [ 6 1] [ 7 5] [ 8 5] [ 9 4] [10  9]
>>  [11 6] [11 4] [11 3] [11 9] [11 2] [11 8] [11 7] [11 5] [11 10]
>>
>>の各場合に η(z) の変換性から示しておくのではどうでしょうか.

(1) a=1, c=11, (2) b=1, c=11の場合について確認できました。
(3) c≡0 mod 11, d=1の場合と異なって、
η(z + 1) = e^{πi/24} η(z)  (A),
η(-1/z) = √(-iz) η(z)  　 (B)
の変型の順序がη(z)^2とη(11z)^2と異なるのでF(z)のまま変型しても辿り着けな
いわけです。面白いのは(1) a=1, c=11の場合で(A)から出てくる因子
exp(2πi(24b-18)/24)と(B)から出てくる因子-iが相殺して位相が
exp(2πib)ずれたところで成立しているところです。
(1)の場合、η(z)においてa|cとη(11z)においてc|11a
(2)の場合、η(z)においてb|dとη(11z)においてc|11a
によって整数a/c, 11a/c, d/b, 11a/cが取りだせるため(A)により変換
できますが、これら以外の組み合わせは分数がでてくるので直接の
計算は困難でむしろ、

>>  [1 m][a b][1 n] = [a+mc b+md][1 n] = [a+mc b+md+na+mnc]
>>  [0 1][c d][0 1]   [   c    d][0 1]   [   c        d+nc]

によって(1) a=1, c=11, (2) b=1, c=11に変型するという方向で検討中です。
c'に関する帰納法よりもΓ_0(11)の生成元がなにであるか調べる方が
いいかなと思っています。