ご回答誠に有難うございます。

>> 所で,p192での(X,Y,u)が(x,y,z)より小さい解である事は
>> どうすれば示せますでしょうか?
> 最初の投稿で書かれているではありませんか.

あっ。そうでした。
最後の行で「z=u^4+4v^4」と言ってあり, z,u,v∈Nなので
z>uとなりますね。


>> その新しい解が元々の解より小さいかという検証がただ残っているだけである。
>> 上記の各式を使って,
：
> だから, (X, Y, u) は (x, y, z) と比べると,
>  u < z を満たす解になっています.

了解です。

>> そして,この議論は(x,y,z)がx^4+y^4=z^2の解なら
>> (X,Y,u)もx^4+y^4=z^2のより小さい解であるので
>> これ操作を繰り返せば幾らでも小さなx^4+y^4=z^2の解を求めれるはずだが
>> 自然数には最小数が存在するので矛盾となり,
>> x^4+y^4=z^2には正整数解が存在しない事が言えるんですよね。
> そう, 正整数 z がいくらでも小さい解が存在することになり,
> 矛盾します.

そうですね。

>> それからどうしてx^4+y^4=z^4の解が無い事が導けるのでしょうか?
>  x^4 + y^4 = z^4 = (z^2)^2 となる正の整数 x, y, z があれば,

これもそうでした。z^4は(z^2)^2と変形できますね。

>  (X, Y, Z) = (x, y, z^2) が X^4 + Y^4 = Z^2 を満たすことになり,
> 矛盾を生じます.

そうですね。X,Yとx,yの大小関係は問題ではなくてZ>uなるu∈Nがえんえんと取れ続ける事になり,
このような事は自然数の定義から反しますね。


吉田京子