工繊大の塚本です.

In article <11a4b0e6-6804-48ff-a6ff-b2344b39e7af@z15g2000prn.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <100707210423.M0107288@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  2 以外の共通因子が存在しないことも確かめて下さい.
> > 「 s と t は互いに素であるので, s + t と s - t の
> >   共通因数は 2 だけである」
> 
> s,t∈1mod4とすると
> s+t=4(k+k')+2=2(2(k+k')+1), s-t=2・2(k+k')で
> 2(k+k')+1と2(k+k')は連数の奇数と偶数なので互いに素で共通因数は無し。
> よって,s+tとs-tは2のみ共通因数を持つのですね。

違います. s = 4 k + 1, t = 4 k' + 1 とするなら,
 s + t = 4(k + k') + 2 = 2(2(k + k') + 1) ですが,
 s - t = 4(k - k') = 2(2(k - k')) です.
「連数の奇数と偶数」ではありません.
 2 で割ると, 奇数と偶数, というのは良い.

奇素数 p が s + t と s - t を割り切るなら,
 p は 2 s = (s + t) + (s - t) と
 2 t = (s + t) - (s - t) とを割り切ります.
奇素数 p が 2 s を割り切るなら s を割り切り,
奇素数 p が 2 t を割り切るなら t を割り切りますから,
 p は s と t の双方を割り切ることなり,
 s と t が互いに素であることに反します. 

 s と t が共に 4 で割って 3 余る場合も同様.

宜しいでしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp