ご回答誠に有難うございます。

>>>  2 以外の共通因子が存在しないことも確かめて下さい.
>>> 「 s と t は互いに素であるので, s + t と s - t の
>>>   共通因数は 2 だけである」
>> s,t∈1mod4とすると
>> s+t=4(k+k')+2=2(2(k+k')+1), s-t=2・2(k+k')で
>> 2(k+k')+1と2(k+k')は連数の奇数と偶数なので互いに素で共通因数は無し。
>> よって,s+tとs-tは2のみ共通因数を持つのですね。
> 違います. s = 4 k + 1, t = 4 k' + 1 とするなら,
>  s + t = 4(k + k') + 2 = 2(2(k + k') + 1) ですが,
>  s - t = 4(k - k') = 2(2(k - k')) です.

そうでした。

> 「連数の奇数と偶数」ではありません.

失礼致しました。

>  2 で割ると, 奇数と偶数, というのは良い.

これは夫々
(s + t)/2 = 2(k + k') + 1 = 2(k + k') + 1 ですが,
(s - t)/2 = 2(k - k') = 2(k - k') そうですね。

> 奇素数 p が s + t と s - t を割り切るなら,
>  p は 2 s = (s + t) + (s - t) と
>  2 t = (s + t) - (s - t) とを割り切ります.

これはその通りですね。

> 奇素数 p が 2 s を割り切るなら s を割り切り,
> 奇素数 p が 2 t を割り切るなら t を割り切りますから,
>  p は s と t の双方を割り切ることなり,
>  s と t が互いに素であることに反します.

なるほど。

>  s と t が共に 4 で割って 3 余る場合も同様.
> 宜しいでしょうか.

この場合は
s = 4 k + 3, t = 4 k' + 3 とするなら,
s + t = 4(k + k') + 6 = 2(2(k + k') + 3),
s - t = 4(k - k') = 2(2(k - k')).
ここで2(k + k') + 3と2(k - k')は夫々奇数と偶数なのでもし素因数があるとすれば奇素数しか有り得ない。
その奇素数をpとするとp|(s+t)+(s-t)=2s, p|(s+t)-(s-t)=2tでp|s,p|tでなければならない。
これはGCD{s,t}=1に反しますね。

所で,p192での(X,Y,u)が(x,y,z)より小さい解である事はどうすれば示せますでしょうか?

そして,この議論は(x,y,z)がx^4+y^4=z^2の解なら(X,Y,u)もx^4+y^4=z^2のより小さい解であるので
これ操作を繰り返せば幾らでも小さなx^4+y^4=z^2の解を求めれるはずだが自然数には最小数が存在するので
矛盾となり,x^4+y^4=z^2には正整数解が存在しない事が言えるんですよね。

それからどうしてx^4+y^4=z^4の解が無い事が導けるのでしょうか?