塚本様　いつも,ありがとうございます。

集合Xの族Oが
O1. U_λ∈O、λ∈Λならば(無限個の元の和集合も含めて)∪U_λ∈O
O2. U_λ∈O、λ∈Λならば有限個の元の共通部分、∩U_λ∈O
O3. φ, X ∈ O
を満たす時,(X,O)を位相構造と呼ぶというのが私の理解ですが、基本近傍系の
条件も必要でしょうか？(O1,O2,O3だけなら(i)だけでOKですよね．．．．）
(iii)が成り立てばU(x,e)が開集合であることが示せますから
(ii)の条件下では異なるx,yに対して0<e<d(x,y)/2とすると
x∈U(x,e), y∈U(y,e), U(x,e) ∩ U(y,e)=φ
となる「開集合」U(x,e),U(y,e)がとれるので(ii)(iii)は
ハウスドルフ空間の為の条件と考えますがいかがでしょう？

柳楽＠生物系


Tsukamoto Chiaki wrote:
> 工繊大の塚本と申します.
> 
> In article <400837CB.4080100@d5.dion.ne.jp>
> 柳楽盛男 <nagira@d5.dion.ne.jp> writes:
> 
>>疑問I. 集合Xに2元間の距離d: X x X -> R が与えられていると
>>e-近傍 U(x,e) = {y| d(x,y)<e }が定義できて、
>>任意のUの元xに対してd(x,e)⊂Uとなるe>0存在するXの部分集合U全体を
>>開集合としてXに位相が入ります。写像d: X x X -> Rが距離といわれるための
>>条件は
>>(i) d(x,y)>= ０,特にd(x,y) = 0とx = yとは同値。
>>(ii) d(x,y) = d(y,x)
>>(iii) d(x,z) =< d(x,y)+d(y,z)
>>ですが位相が入るための必要条件は(i)だけよいと思いますが正しいでしょうか？
> 
> 
> 位相を各点 p での基本近傍系 N(p) を定めて与えるには, 集合の族 N(p) が
> 
>   (0) N(p) ∋ U ならば U ∋ p.
>   (1) N(p) ∋ U, V ならば, ある W ∈ N(p) があって, W ⊂ U ∩ V.
>   (2) N(p) ∋ U に対し, ある V ∈ N(p) があって, 任意の V の点 q に
>       対し, ある W ∈ N(q) があって, W ⊂ U.
> 
> を満たす必要があります. (2) の条件は, p が N(p) の元 U の内点になって
> いることを保障するものです.
> 
> # 集合 A の点 p が A の内点であるとは, ある V ∈ N(p) があって, 任意
> # の V の点 q に対し, ある W ∈ N(q) があって, W ⊂ A となること.
> # (2) を使うと, この V の点が全て A の内点であることも分かります.
> 
> 距離によって定義される基本近傍系の元 U(p, e) = { q | d(p, q) < e } は
> 三角不等式 (iii) を用いると, それ自体開集合であることが分かりますし,
> 基本近傍系が (2) を満足することも明らかですが, (i) しか満たさないよう
> な「距離」ではそうとは限りません.
> 
> 例えば, F(x) = x ((sin x)^2 + exp(-x)) として d(x, y) = F(|x - y|) と
> いう「距離」を実数全体に入れると, U(0, e) は大体, |x| が小さいところと
>  |x| の大きなところでの π の整数倍の近くの小さな区間の和で, しかも
> その区間の幅は |x| が大きくなればどんどん小さくなっています. p が 0 で
> ないなら, U(p, c) は U(0. e) に含まれることはありません.
> 
> つまり, (i) だけでは位相を定義するには不足です.
> 
> 
>>疑問II.GL(n,C)に位相をいれるには距離
>>d(X,Y) = Σ_(ij) (X_ij-Y_ij){(X_ij-Y_ij)の複素共役}
>>を定義すればよいように思いますが正しいでしょうか？
> 
> 
> これ自体は距離ではありません. 三角不等式が満たされませんから. これの
> 平方根をとったもの,
> 
>   d(X,Y) = \sqrt{Σ_(ij) (X_ij-Y_ij){(X_ij-Y_ij)の複素共役}}
> 
> は GL(n, C) を C^{n^2} と考えたときの自然なユークリッド距離です. 基本
> 近傍系は, 距離で考えても「距離」で考えても, この場合は同じですから,
> 位相を定義するにはどちらでも良いとも言えはします.
> 
> 
>>あるいは一般的な方法でしょうか？
> 
> 
> 距離と単調連続関数との合成で作った「距離」では余り面白くありません.