ご回答誠に有難うございます。

>> [問3] Gを有限群とし,χをGからC^×への準同型とするとΣ_{a∈G}χ(a)=0ですね。
>> これはどのようにして証明できるのでしょうか?
> 一瞬でも考えて見ましたか.

はっはい。

> 又, 正しく書き写すことも出来ませんか.

失礼いたしました。
「[問3] Gを有限群とし,χをGからC^×へχ(G)は1を含まない準同型とするとΣ_{a∈G}χ(a)=0ですね。」
でした。

> \chi が, 全ての a \in G に対して \chi(a) = 1 となる
> trivial なものではないことが, 大事な条件です.
：
> 導かれます.

大変ありがとうございます。

>> これが証明できれば定理3.4ではχの定義域は
>> 法Nの乗法群Z_N^×:={amodN;a∈{0,1,…,N-1},GCD{a,N}=1}ですが
>> χの値域はC^×とは記されてないですがどうして
>> C^×分かるのでしょうか?
> (a, N) = 1 のとき, 複素数 \chi(a) は 0 ではありません.

これはχの定義からわかりますね。

> (a, N) = 1 となる a の合同類の全体が乗法群となることと,
> \chi(1) = 1 とから明らかです.

χ(1)=1(∵χの定義),χ(N-1)=χ(-1)=-1(∵題意)は分かりますが
χ({2,3,…,N-2})が1を含まない事はどうすれば分かりますでしょうか?

>> そしてC^×の定義はC^×:={z∈C;GCD{z,N}=1}で宜しいでしょうか?
> C^\times というのは, 複素数全体 C から 0 を除いた乗法群の
> ことですよ.

そうでした。R^×:=R＼{0}, C^×:=C＼{0}は掛け算に関して群をなしますね。

> まあ, 問 3 が分からないというのは, この本を読む為の
> 準備が不十分であるということでしょう.
>> でっではどうすればいいのでしょうか?
> どうしようもありません.

すみません。

>>> もう一度, \zeta(s) とはどのように定義されたか,
>>> Re(s) > 1 で定義された \sum_{n=1}^\infty 1/n^s の
>>> 解析接続とはどういうものか, 復習されてから,
>>> お考え下さい.
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_con...
>> を使ってどのようにζ関数の定義を拡張すればいいのでしょうか?
> \zeta function では積分表示式を使いました.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_06.jpg
という具合にでしょうか?
でもこれでもsの定義域はRe(s)>1のままですよね。

>> > 実は「数論１」の後の方に, L(s, \chi) がどのように
>> > 定義されるかが書いてあります. 95 page の命題 3.15 です.
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_00.jpg
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_01.jpg
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_02.jpg
>> が有理形関数の定義ですよね
>> (但し,IsoD:={z∈C;z is an isolated point of D})。
> 分かっていることを前提に話をしています.

はい。

>> でもって
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_03.jpg
> L(s, \chi) の定義がおかしい.
> \lim_{s \to 1} (s-1) \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s = 1
> などと言うのは, 何を読んでいるのですか.

「実は「数論１」の後の方に, L(s, \chi) がどのように定義されるかが書いてあります. 95 page の命題 3.15 です.」
ですが。
そう言えば
lim_{s→1}でのsは束縛変数になっているので
f(s) (where f∈Map({s∈C;￢(Re(s)>1)},C) and f(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n=1}^∞
χ^(m) (n)/n^2 =1)
(if s∈{s∈C;￢(Re(s)>1)})と書く事はできませんでした。 失礼いたしました。

> \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx であるのは
> Re(s) > 0 において, です.

そうですね。0から∞まで広義積分で定義できるのは定義域が{s∈C;Re(s)>1}の場合ですね。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_04.jpg
> \Gamma(1) = 0! = 1 であることを御存知ありませんか.

これは以前,何かの本で見かけた事があります。

> 結局, 解析接続が分かっていないのはともかく,
> きちんと本を読んでいないのではありませんか.

すみません。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_05.jpg
>> がL(s,χ),Γ(s),ζ(s),ζ_{amodN}ζ(s,x){s∈C;Re(s)>1}からCへ
>> 拡張した定義になるのでしょうか?
> 先ずは, 一行ごとに翻訳されてみては如何でしょうか.

了解いたしました。

[Def438.114] m∈Nとする。 Map(Z,C)∋fは法mのDirichlet指標である。
⇔
(i) もしa≡bならf(a)=f(b),  (ii) f(ab)=f(a)f(b),  (iii) f(1)=1,  (iv) もし
GCD{a,m}≠1 then f(a)=0.
そしてDC(m):={f∈Map(Z,C);fは法mのDirichlet指標}、χ^(m)∈DC(m) (但しx∈Z)と表記する。


[Def438.1145] m∈N,χ(m)∈DC(m)とする。 その時,Map(C×DC(m),C)∋DL(,);
DL(s,χ(m)):=
Σ_{n=1}^∞ χ^(m)(n)/n^s (s∈{s∈C;Re(s)>1}の時),
f(s) (但し,f∈Map(s∈{s∈C;Re(s)>1}),C)でf(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n=1}^∞ χ^(m)
(n)/n^s =1
(s∈{s∈C;￢(Re(s)>1)}の時),
と定義し,このDL(s,χ(m))はχについてのDirichlet L関数と呼ばれる。

[Def585] ∀s∈{s∈C;Re(s)>0}に対して,∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dx∈Cとなる。
この時,Map(C,C)∋Γ;C∋∀sΓ(s):=
∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dx(s∈{s∈C;Re(s)>1}の時),
f(s) (但し,f∈Map(s∈{s∈C;Re(s)>1}),C)でf(s)=lim_{s→1}(s-1)∫_0^∞exp(-
x)x^{s-1}dx =1
(s∈{s∈C;￢(Re(s)>1)}の時)
と定義し,このΓ(s)はgamma関数と呼ばれる。

[Def586] ζはMap(C,C∪{∞})∋ζ; C∋∀sζ(s):=

Σ_{n=1}^∞ 1/n^s (s∈{s∈C;Re(s)>1}の時),
f(s) (但し,f∈Map(s∈{s∈C;Re(s)>1}),C)でf(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n=1}^∞ 1/n^s
=1
(s∈{s∈C;￢(Re(s)>1)}の時),
であるようなDirichlet級数とする。このζ Riemann zeta関数と呼ばれる。

[Def666]　s∈C and a∈Z and Nは自然数とする。　この時C∋∀sζ_amodN(s):=

Σ_{n∈amodN, nは自然数}^∞ 1/n^s (s∈{s∈C;Re(s)>1}の時),
f(s) (但し,f∈Map(s∈{s∈C;Re(s)>1}),C)でf(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n∈amodN, nは自然
数}^∞ 1/n^s =1(s∈{s∈C;￢(Re(s)>1)}の時)
と定義し,このΣ_{n∈amodN, nは自然数}^∞ 1/n^sはpartial Riemann zeta関数と呼ばれる。

[Def668] s∈C,0<x∈Rとする。  この時,Map(C×{x∈;0<x},C)∋ζ(,);∀(s,x)ζ(s,x)

Σ_{n=1}^∞ 1/(x+n)^s (s∈{s∈C;Re(s)>1}の時),
f(s) (但し,f∈Map(s∈{s∈C;Re(s)>1}),C)でf(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n=1}^∞ 1/(x
+n)^s =1
(s∈{s∈C;￢(Re(s)>1)}の時)
と定義し,このζ(s,x)はHurwitz zeta関数と呼ばれる。

でよろしいでしょうか?
でもf(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n=1}^∞ χ^(m) (n)/n^s =でのsは束縛変数なのでこの式は意味を成しません
ね。

>> "解析接続される"とは
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_con...
>> のような写像gが採れるという事ですよね。
>> L(s,χ)の解析接続gとしてどのようなgが採れるのでしょうか?
> ちゃんと本に書いてありますから, 一行ごとの翻訳が
> 完成したら, 分かるでしょう. まあ, Re(s) > 1 において,

"解析接続である"とはどの本にも載ってますが"解析接続される"という言い方の説明はちょっと見当たらないようです。

>  L(s, \chi)
>   = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s

これはDirichletのL関数の定義からですね。

>   = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \sum_{n=0}^\infty 1/(nN + a)^s

これはどのように変形なさったのでしょうか?

> が分かれば解決するという話ではなさそうですね.

お手数お掛けしまして申し訳ありません。