工繊大の塚本です.

In article <69fa46dd-d9be-4b4f-80a9-c08ff27a50af@dq9g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 『Suppose f(x)=Σ_{k=0}^∞a_kx^k has radius of convergence R=1, and that
> Σ_{k=0}^∞a_k converges. Then lim_{x→1-0}f(x)=Σ_{k=0}^∞a_k.』
> がAbelの定理ですよね。

その定理を証明するときに, b_n が正で単調減少であり,
ある正数 M について, 任意の自然数 n \leq m について,
 |\sum_{k=n}^m a_k| \leq M であれば,
任意の自然数 n \leq m について

  |\sum_{k=n}^m a_k b_k| \leq M b_n

となることが使われるのですが, そのことを使うと,
 b_n が正で単調減少であり, \lim_{n \to \infty} b_n = 0 であり,
ある正数 M について, 任意の自然数 n \leq m について,
 |\sum_{k=n}^m a_k| \leq M であれば,
 \sum_{n=1}^\infty a_n b_n は収束する,
ということが導かれ, これも Abel の定理と呼びます.

> Σ_{m=N}^∞χ(m)/m=χ(N+1)/(N+1)+χ(N+2)/(N+2)+χ(N+3)/(N+3)+…
> =χ(1)/(N+1)+χ(2)/(N+2)+χ(3)/(N+3)+…
> (∵今,χは法NのDirichlet characterなのでDirichlet characterの定義)
> からAbelの定理をどのように利用すればいいのでしょうか?

 |\sum_{k=n}^m \chi(k)| \leq M となる M の存在を言って,
上の Abel の定理を使えば, \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n の
収束が出ます.

> 1/4(Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a
> +Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m)
> からどうやって
> =1/4(4 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m)
> に持っていけるのでしょうか?

 \chi(nN) = 0 ですから,

  (1/4)(\sum_{m=N+1}^\infty \chi(m)/m + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a
        + \sum_{m=-1}^{-\infty} \chi(m)/m
        + \sum_{m=-1}^{-\infty} \chi(m)/m
        + \aum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{m=N+1}^\infty \chi(m)/m)
   = (1/4)(2 \sum_{n=1}^\infty \chi(m)/m
           + 2 \sum_{n=-1}^{-\infty} \chi(m)/m)

となりますが, -m = m' とすれば,

  \sum_{m=-1}^{-\infty} \chi(m)/m
   = \sum_{m'=1}^\infty \chi(-m')/(-m')
   = \sum_{m'=1}^\infty \chi(-1) \chi(m')/(-m')
   = \sum_{m'=1}^\infty (-1) \chi(m')/(-m')
   = \sum_{m'=1}^\infty \chi(m')/m'

なので, 求める式が得られます.

> つまり,L(s,χ)の定義がよく分かっておりませんでした。
> L(s,χ)のsの定義域は{s∈C;Re(s)>1}とは限らず
> L(s,χ)が収束するようなs全体と言えるのでしょうか?

 L(s, \chi) 自体は Re(s) > 1 で収束するベキ級数を
解析接続して定義されます. 特に, s = 1 でも
ベキ級数が収束していれば, Abel の定理で,
 L(1, \chi) はそのベキ級数の値に等しくなります.
 
> そうしますと
> [定義] Let m∈N and χ^(m)∈DC(m). Then we definite Map({s∈C;Re(s)>1}
> ×DC(m),C)∋L(,);
> L(s,χ^(m)):=Σ_{n=1}^∞χ^(m)(n)/n^s is called Dirichelt L function about
> χ.　
> 
> という定義は間違いでしょうか?

 \zeta(s) が, Re(s) > 1 で定義される \sum_{n=1}^\infty 1/n^s
とは違い, それを解析接続したものであるのと同様に,
間違っています.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp