工繊大の塚本です.

In article <251e945e-f408-418a-8815-339b3ebf24de@dq9g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110611152333.M0121460@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 又, 正しく書き写すことも出来ませんか.

> 「[問3] Gを有限群とし,χをGからC^×へχ(G)は1を含まない準同型とすると
> Σ_{a∈G}χ(a)=0ですね。」
> でした。

又, 正しく書き写すことも出来ませんか.
「 \chi(G) が 1 以外の元を含む準同型であれば」です.

> χ(1)=1(∵χの定義),χ(N-1)=χ(-1)=-1(∵題意)は分かりますが
> χ({2,3,…,N-2})が1を含まない事はどうすれば分かりますでしょうか?

 \chi(-1) = -1 であれば十分. その他がどうでも良い.

大体, \chi(1) = 1 ですから, 「\chi(G) は 1 を含まない」
ということは起き得ません.

> > \zeta function では積分表示式を使いました.
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_06.jpg
> という具合にでしょうか?

ここでもきちんと書き写せていませんね.

  \zeta(s) = 1/((e^{2 \pi s} - 1) \Gamma(s)) \int_C u^{s-1}/(e^u - 1) du

です.

> でもこれでもsの定義域はRe(s)>1のままですよね。

いいえ. この表示から, \zeta(s) は C \setminus { 1 } 上で
正則であることが分かります.

> > L(s, \chi) の定義がおかしい.
> > \lim_{s \to 1} (s-1) \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s = 1
> > などと言うのは, 何を読んでいるのですか.
> 
> 「実は「数論１」の後の方に, L(s, \chi) がどのように定義されるかが
> 書いてあります. 95 page の命題 3.15 です.」
> ですが。

命題 3.15 には \lim_{s \to 1} (s-1) \zeta(s) 等が
 *どうなるか* は書いてありますが,
それを用いて L(s, \chi) 等が定義されているわけではありません.

更に, \chi(-1) = -1 であれば,
 \lim_{s \to 1} (s-1) L(s, \chi) = 0 と *なる* ことも
書いてある筈です.

> そう言えば
> lim_{s→1}でのsは束縛変数になっているので
> f(s) (where f∈Map({s∈C;\neg(Re(s)>1)},C) and f(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n=1}^∞
> χ^(m) (n)/n^2 =1)　
> (if s∈{s∈C;\neg(Re(s)>1)})と書く事はできませんでした。 失礼いたしました。

これも奇妙な議論をされているようですが, 無視しておきます.

> > \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx であるのは
> > Re(s) > 0 において, です.
> 
> そうですね。0から∞まで広義積分で定義できるのは
> 定義域が{s∈C;Re(s)>1}の場合ですね。

もう何度も何度も書いていますが,
 \Gamma(s) の広義積分による定義が有効であるのは,
 Re(s) > 1 においてではなく,
 Re(s) > 0 においてです.

> > 先ずは, 一行ごとに翻訳されてみては如何でしょうか.

これは元の文章をきちんと書き写したものと,
貴方の文章とを, 対応させて書くことを求めています.
 
> 了解いたしました。

番号付けの意味が分かりませんが, それはサテオキ.

> [Def438.114] m∈Nとする。 Map(Z,C)∋fは法mのDirichlet指標である。
> ⇔　
> (i) もしa≡bならf(a)=f(b),  (ii) f(ab)=f(a)f(b),  (iii) f(1)=1,
> (iv) もしGCD{a,m}≠1 then f(a)=0.
> そしてDC(m):={f∈Map(Z,C);fは法mのDirichlet指標}、
> χ^(m)∈DC(m) (但しx∈Z)と表記する。
> 
> [Def438.1145] m∈N,χ(m)∈DC(m)とする。
> その時,Map(C×DC(m),C)∋DL(,); DL(s,χ(m)):=
> Σ_{n=1}^∞ χ^(m)(n)/n^s (s∈{s∈C;Re(s)>1}の時),

ここ迄は何とか元の文章がどれであるか分かりますが,

> f(s) (但し,f∈Map(s∈{s∈C;Re(s)>1}),C)で
> f(s)=lim_{s→1}(s-1)Σ_{n=1}^∞ χ^(m)(n)/n^s =1
> (s∈{s∈C;\neg(Re(s)>1)}の時),

この部分は貴方の創作ですから,
間違っている, としか評価できません.

> と定義し,このDL(s,χ(m))はχについてのDirichlet L関数と呼ばれる。

以下, 添削の意味がありませんから, 無視します.
先ずは, 文章を正しく書き写すことが出来るように
御努力下さい.

> > ちゃんと本に書いてありますから, 一行ごとの翻訳が
> > 完成したら, 分かるでしょう. まあ, Re(s) > 1 において,
> 
> "解析接続である"とはどの本にも載ってますが
> "解析接続される"という言い方の説明はちょっと見当たらないようです。

それは残念ですね.

> >  L(s, \chi)
> >   = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
> 
> これはDirichletのL関数の定義からですね。
> 
> >   = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \sum_{n=0}^\infty 1/(nN + a)^s
> 
> これはどのように変形なさったのでしょうか?

この

  L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{a \mod N}(s)

であるという話は, 他の thread でしましょう.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp