工繊大の塚本です.

In article <k409hu$taj$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <120913172022.M0228511@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > ここでの主張は, Re(s) > 0 においては
> >  \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx
> >   = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx
> > が成立する, ということの筈です.
> 
> すいません。この等式はどのようにして証明してけばいいのでしょうか?

 f_n(x) = x^{s-1} (1 - x/n)^n  (0 \leq x \leq n),
 f_n(x) = 0  (n < x), で f_n(x) を定めれば,
 |f_n(x)| は n について単調増加して x^{Re(s)-1} \exp(-x) に収束し,
 x^{Re(s)-1} \exp(-x) は [0, \infty) で可積分ですから,
 Lebesgue の定理が適用できます.

> あと, lim_{n→∞}∫_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dxは
> C\setminus{0,-1,-2,…}で正則なのですよね?

その極限で表される関数は
 Weierstrass の乗積表示の逆数に書き換えることができ,
 Weierstrass の乗積表示の逆数が
その極限で表される関数の解析接続の表示を与えることになるので,
その極限で表される関数の解析接続は
複素数平面から非正の整数を除いたところで正則になります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp