工繊大の塚本と申します.

In article <k0jnc5$65e$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Γ(s)が確かに∫_0^∞x^{s-1}exp(-x)dxの解析接続になってる事の
> 証明を試んでいるのですが
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_953__00.pdf
> 2ページ目の下から3行目で
> lim_{n→∞}lim_{k→∞}をlim_{n,k→∞}と言う風に
> 極限の順序を問わなくていいことを述べたいのですが
> ここでの理由付けはどうなりましょうか?

最終的に必要となるのは,

  \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx
   = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx

なのですから, そこに絞って証明を試みられては如何ですか.

それから, 単調収束定理は増加列についてのものです.
減少列なら違う定理を使うのでしょう. さて,

  f_n(x) = x^{s-1} (1 - x/n)^n   (0 < x < n)
         = 0                     (otherwise)

という関数列について, |f_n(x)| はどうかというと,

  g(t, x) = (1 - x/t)^t  (0 < x < t)
          = 0            (otherwise)

とするとき, 0 < x < t では \log(g(t, x)) = t \log(1 - x/t),  

  (\partial/\partial t)(g(t, x))
   = (\log(1 - x/t) + x/(t - x)) g(t, x)

ゆえ, (\partial/\partial t)(g(t, x)) の符号は
 h(t, x) = \log(1 - x/t) + x/(t - x) の符号と一致します.

  (\partial/\partial t)(h(t, x))
   = x/(t (t - x)) - x/(t - x)^2 = - x^2/(t (t - x)^2) < 0

であり, \lim_{t \to \infty} h(t, x) = 0 ですから,
 0 < x < t で h(t, x) は, 従って,
 (\partial/\partial t)(g(t, x)) は正であり,
 |f_n(x)| は単調増加列であることがわかります.

これで解決できますね.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp