Re: ζ(1-r,x)=-rB_r(x) (where x∈C)とζ_{amodN}(1-r)=-1/r N^{r-1}B_r(a/N)を示せ

工繊大の塚本です.

  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n
   = \sum_{n=0}^\infty ((\sum_{i=0}^n { n \choose i } B_i x^{n-i})/n!) u^n

において自由に和の順序変更ができる為には, 正項級数

  \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n { n \choose i } (|B_i| x^{n-i}/n!) |u|^n

の何らかの順序での和が収束していれば良い. だから,

  \sum_{i=0}^\infty (|B_i|/i!) |u|^i \sum_{n=i}^\infty (x |u|)^{n-i}/(n-i)!

が収束していれば良い.

In article <iuiihv$ji8$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__01.jpg
> となったのですがΣ_{i=0}^∞B_i/i! u^iとΣ_{m=0}^∞(xu)^m/m!の入れ換えは双方とも
> 絶対収束しないと出来ませんよね。
> Σ_{i=0}^∞B_i/i! u^iが絶対収束する事はどうすれば示せますでしょうか?

 \sum_{i=0}^\infty B_i/i! u^i は定義から
 u/(e^u - 1) を u = 0 の周りにベキ級数展開したものであり,
この関数の正則域を考えれば, 収束半径は 2 \pi ですから,
その収束半径の内部で絶対収束します.

 \sum_{m=0}^\infty (x u)^m/m! = \exp(x u) の方は
良いですね.

> In article <110623174053.M0101955@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  u \exp(x u)/(e^u - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n
> > なのですから,
> 
> すいません。この等式はどうして成立つのでしょうか?

それを,

  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n
   = \sum_{n=0}^\infty ((\sum_{i=0}^n { n \choose i } B_i x^{n-i})/n!) u^n
   = \sum_{i=0}^\infty (B_i/i!) u^i \sum_{n=i}^\infty (x u)^{n-i}/(n-i)!
   = (u/(e^u - 1)) \exp(x u)

として先に示したのです.

> >  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n
> >    = u e^{x u}/(e^u - 1),
> 
> どうしてこの等式が成立つのでしょうか?
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_2__00.jpg

貴方の変形では駄目です.
 { n \choose i }/n! = 1/(i! (n-i)!) を使っての変形
については既に述べました.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__02.jpg
> となったのですが∫_0^1u^{n+s^2}duのところでs∈Rである必要がありますよね。

そんな必要はありません.

> s∈Cででも∫_0^1u^{n+s^2}du=[u^{n+s-1}/(n+s-1)]^1_0は成立つのでしょうか?

勿論.

> > u/(e^u - 1) の収束半径は 2 \pi ですから,
> 
> すいません。どのようにして2πと求まるのでしょうか?

 e^u - 1 = 0 となるのは u = 2 \pi i n  (n \in Z) のときです.
 u/(e^u - 1) が正則でなくなる可能性があるのは
分母が 0 になるときで,
 u = 0 の近くでは u/(e^u - 1) は正則ですから,
 u/(e^u - 1) が正則でなくなるのは,
 u = 2 \pi i n  (n \in Z, n \neq 0) のときで,
 0 と 2 \pi i, 或いは - 2 \pi i との距離は 2 \pi ですから,
 u/(e^u - 1) の収束半径は 2 \pi です.

> Σ_{n=0}^∞  (-1)^n B_n(x)/n! u^{n+s-2}
> = u e^{-x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-2}
> の収束が一様収束であるとどういう手順で示されているのでしょうか?

   u e^{-x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-2}
    = e^{(1-x)u} (u/(e^u - 1)) u^{s-2}
    = u^{s-2} \sum_{n=0}^\infty (B_n(1-x)/n!) u^n
    = u^{s-2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (B_n(x)/n!) u^n

において, \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (B_n(x)/n!) u^n
が収束半径が 2 \pi のベキ級数であることから自明でしょう.
分かり難いなら, 後で示す |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n を
用いても良い.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_5__00.jpg
> という具合に帰納法で証明を試みたのですが
> -(x-1)^-sの項が現れてくれません。何処を間違ったのでしょうか?

 (iii) の then 以下が意味を為しません.
 \zeta(s, x) は \zeta(s, x - (N+1)) ではありませんから.

 N+1 < x \leq (N+1)+1 ですから, N < x-1 \leq N+1 なので,
 0 < x-1 であることから

  \zeta(s, x) = \zeta(s, (x-1)+1) = \zeta(s, x-1) - (x-1)^{-s}

であることと, 帰納法の仮定から出る

  \zeta(s, x-1)
   = \zeta(s, (x-1)-N)
     - ((x-1)-1)^{-s} - ((x-1)-2)^{-s} - \cdots - ((x-1)-N)^{-s}
   = \zeta(s, x-(N+1))
     - (x-2)^{-s} - (x-3)^{-s} - \cdots - (x-(N+1))^{-s}

とを合わせることになります.

> > \zeta(s, x-N) の表示から
> > \zeta(s, x) の表示も得られますから,
> 
> ζ(s,x)=ζ(s,x-N)-(x-1)^{-s}-(x-2)^{-s}-…-(x-N)^{-s}という事でしょうか?

はい.

> > 0 < x \leq 1 と仮定して,
> > \zeta(s, x) の全複素平面での有理形関数としての表示を
> > 求めれば良いわけです.
> 
> ζ(s,x)=ζ(s,x-N)-(x-1)^{-s}-(x-2)^{-s}-…-(x-N)^{-s}では
> x=1,2,…,Nの所で孤立特異点を持つのですね。

違います. s についての関数の話ですよ. x はただのパラメータです.
 x-1, x-2, \dots, x-N は全て正の実数ですから,
 (x-1)^{-s}, (x-2)^{-s}, \dots, (x-N)^{-s} らは
全複素数平面で正則です.

> ところでx=1,2,…,Nで極を持つ事と
> C\setminus{1,2,…,N}でζ(s,x)は正則となる事はどうすれば示せるのでしょうか?

だから, それは意味のない質問です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_6__00.jpg
> となったのですが一様収束となる理由は何なのでしょうか?

それは有限級数ですよ.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_7__00.jpg

折角ここで \int_0^1 B_n(x) dx
 = (1/(n+1))(B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)) を示したし,

> > 自然数 n が偶数でも,
> > B_{n+1}(1) = (-1)^{n+1} B_{n+1}(0) = B_{n+1} = 0
> > ですから, \int_0^1 B_n(x) dx = 0 です.

と注意したのに,

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_8__00.jpg
> となったのですがどのようにして=0に持っていけるのでしょうか?

どうして上のことを使わないのですか.
 n が偶数のとき, n+1 は奇数で, B_{n+1} = 0 ですから,
 B_{n+1}(0) = 0, 従って, B_{n+1}(1) = (-1)^{n+1} B_{n+1}(0) = 0
であり, \int_0^1 B_n(x) dx = 0 です.
 
> すいません。x_kの定義は何なのでしょうか?

 x_n は, n が奇数のときは x_n = 1/2,
 n が偶数のときは, B_n(x_n) = 0 となる 1/2 < x_n < 1 となる実数です.

> > 問題の設定がおかしい. 任意に自然数 R を取る時,
> >  \sum_{n=R+2}^\infty B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)
> > について,
> >  |B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)|
> >   \leq (1/2^n) (1/(R+2-1-|s|))
> > ですから,

> |B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)|のnは単なる束縛変数ですが,
> (1/2^n) (1/(R+2-1-|s|))のnの値は何なのでしょうか?

 \sum_{n=R+2}^\infty を考えているので,
 n は R+2 より小さくない自然数です.

> > |s| \leq R では
> >  |B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)| \leq 1/2^n
> > となって, Weierstrass の優級数判定法より,
> >  \sum_{n=R+2}^\infty B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)
> > は正則になります. R は任意ですから,
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__03.jpg

相変わらず \Gamma(s) をここでは意味のない極限の式に
書き換えていますね. 他にも色々と間違っています.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__04.jpg

 x について微分してどうするのですか.

> となったのですが,
> 今,x∈Cの範囲で考えているのですよね。

 x は 0 < x \leq 1 を満たす実数です.

> 1/[lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k)]
> [Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x+1)/(n!(s+n-1))
>   +∫_1^∞exp(-(x+1)u)u^{s-1}/(1-exp(-u)) du]
> =
> 1/[lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k)]
> [Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))
>   +∫_1^∞exp(-xu)u^{s-1}/(1-exp(-u)) du] -x^s
> と変形できるのは何故なのでしょうか?

そういう変形をする必要は全くありません.
 N < x \leq N+1 であれば,
 \zeta(s, x) = \zeta(s, x-N) - (x-1)^{-s} - (x-2)^{-s} - \cdots - (x-N)^{-s}
により, \zeta(s, x) の全複素数平面での表示は
 \zeta(s, x-N) の全複素数平面での表示に
幾つかの全複素数平面で正則な関数を付け加えて得られますから,
 0 < x-N \leq 1 についての \zeta(s, x-N) の
全複素数平面での表示が得られれば良い.
 0 < x \leq 1 のとき \zeta(s, x) は

  \zeta(s, x)
   = (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(n+s-1))
                    + \int_1^\infty \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) u^{s-1} du)

と表示され, 1/\Gamma(s) は全複素数平面で正則な関数であり,
 \int_1^\infty \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) u^{s-1} du
も全複素数平面で正則な関数であり, 後は
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(n+s-1))
は全複素数平面上で有理形な関数になっていることが分かれば,
 \zeta(s, x) が全複素数平面上で有理形な関数であることが
分かります.

> そして Σ_{n=R+2}^∞|B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)|≦1/2^n 1/(R+2-1-|s|)と
> |B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)|≦1/2^nの不等号が成立つのはどうしてなのでしょうか?

 n \geq R+2 なら |s + n - 1| \geq n-1 - |s| = R+2 - 1 - |s|.
 |s| \leq R なら 1/|s + n - 1| \leq 1/(R+1 - |s|) \leq 1/1 = 1.
 
> > R は任意ですから,
> >  \sum_{n=0}^\infty B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)
> > は, 全複素数平面の任意の点のある近傍において,
> > 正則関数と有限個の有理関数の和として常に表示できますから,
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__04.jpg
> より,Σ_{n=0}^∞B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)は
> C\setminus{1,0,-1,-2,…}で微分可能と分かりましたので

だから, x で微分してどうするのですか.

> 全複素平面の任意点での任意近傍で正則となる事はわかりますが

分かっていませんね.

> 有限個の有理関数の和と表示できるという保障はどうしてなのでしょうか?

  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1))
   = \sum_{n=0}^{R+1} (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1))
      + \sum_{n=R+2}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1))

において,

  \sum_{n=R+2}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1))

は |s| \leq R において正則関数でした.
 (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1)) 一つ一つは有理関数ですから,
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1)) は　
正則関数 \sum_{n=R+2}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1)) と
 R+2 個の有理関数の和 \sum_{n=0}^{R+1} (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1))
との和になっています.

> 無限個の有理関数の和には絶対にならないのでしょうか?

無論, 最初の表示はそうですが, 無限個の有理関数の和である
だけでは特にうれしくありません.
 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_meromorphic__01.jpg
> が有理型の定義ですよね。どうして"有限個の有理関数の和"が
> 関係してくるのでしょうか?

正則関数と有限個の有理関数の和であれば有理型になります.
 
> > 自然数 N について, s = - N でどうなるかが知りたければ,
> > 和を |s| \leq N で正則な部分と, それ以外の部分に
> > 分ければ良い.
> >  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) (-1)^n/(s+n-1)
> >   = \sum_{n=0}^{N+1} (B_n(x)/n!) (-1)^n/(s+n-1)
> >     + \sum_{n=N+2}^\infty (B_n(x)/n!) (-1)^n/(s+n-1)
> > とすると \sum_{n=N+2}^\infty (B_n(x)/n!) (-1)^n/(s+n-1)
> > は s = - N で正則です.
> > \sum_{n=0}^N (B_n(x)/n!) (-1)^n/(s+n-1) も s = - N で正則です.
> >  (B_{N+1}(x)/(N+1)!) (-1)^{N+1}/(s + N+1 -1)
> >   = (B_{N+1}(x)/(N+1)!) (-1)^{N+1}/(s + N)
> > が s = - N で一位の極を持つことは自明です.
> > s = 1, s = 0 でも同様です.
> 
> 先ずs=1で1位の極を持つ事を示すために
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__05.jpg
> としてみたのですが
> Σ_{n=1}^∞ (-1)^n B_n(x)/(n!(s+n-1)+1/(s-1)から
> 1位の極の定義式Σ_{n=0}^∞c_n(s-1)^n+b/(s-1)の形に持っていけません。
> bについては(0≠)b:=1と採ればいい事はわかりますが
> c_nはどのように採ればいいのでしょうか? 

  \sum_{n=1}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1))
   = - B_1(x)/s + \sum_{n=2}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1))

の - B_1(x)/s も \sum_{n=1}^\infty (B_n(x)/n!) ((-1)^n/(s + n - 1)) も
 s = 1 で正則ですから, それが s = 1 のまわりに Taylor 展開されて,

  = \sum_{n=0}^\infty c_n (s - 1)^n

となる c_n が取れるのは当然のことです.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp