工繊大の塚本と申します.

In article <c2241dcd-4a2e-4a2f-ba85-f30759a39148@r2g2000vbj.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__00.jpg
> の問題を解いております。

定理 3.18 (1) を示すのに, Re(s) > 1 では

  \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s
   = \int_0^\infty e^{- x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-1} du

であることを用いるわけですが,
その積分を分けての

  \int_0^1 e^{- x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-1} du

の計算の所ですね.

> どうして∫_0^1[Σ_{n=0}^∞(-xu)^n/n!/(1-Σ_{n=0}^∞(-u)^n/n!)]u^{s-1}duから
> ∫_0^1Σ_{n=0}^∞[(Σ_{i=0}^k k_C_i B_i x^{k-i})/n!]・(-1)^n u^{n+s-2}du
> と変形できるのでしょうか?

先ず, { n \choose i }/n! = (1/i!)(1/(n-i)!) ですから,

  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n
   = \sum_{n=0}^\infty (\sum_{i=0}^n { n \choose i } B_i x^{n-i})/n! u^n
   = \sum_{i=0}^\infty (B_i/i!) u^i \sum_{n=i}^\infty (x u)^{n-i}/((n-i)!)
   = (u/(e^u - 1)) e^{x u}

となることは宜しいでしょうか.

  \int_0^1 e^{- x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-1} du
   = \int_0^1 e^{(1-x)u}/(e^u - 1) u^{s-1} du
   = \int_0^1 (u e^{(1-x)u}/(e^u - 1)) u^{s-2} du
   = \int_0^1 (\sum_{n=0}^\infty (B_n(1-x)/n!) u^n) u^{s-2} du
   = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty (B_n(1-x)/n!) u^{n+s-2} du

となります. 更に, B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x) ですから,

   = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/n! u^{n+s-2} du

となります. この収束は一様ですので,

   = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/n! \int_0^1 u^{n+s-2} du
   = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/(n! (n+s-1))

となります.

> 「これΣ_{n=0}^∞B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)は複素平面全体に
> sの有理型関数として延長される」となっていますが
> Σ_{n=0}^∞B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)がs=1,0,-1,-2,-3,…で1位の極を持つ事と
> C〓{1,0,-1,-2,-3,…}ではΣ_{n=0}^∞B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)は
> 正則になる事はどうすれば分かるのでしょうか?

先ず, \zeta(s, x + 1) = \zeta(s, x) - x^s ですから,
 0 < x \leq 1 について証明できれば良いことに注意しましょう.
 0 < x \leq 1 で |B_n(x)|/n! \leq 1/2^n であることが
示せますので,

  \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/(n! (n+s-1))
   = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))

の内, |s| \leq R においては

   \sum_{R+1 < n} (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))

が正則になることが分かります. 後は自明です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp