工繊大の塚本です.

In article <905ada15-ec13-43dd-a7cd-196e0079f710@b25g2000vbz.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110121211206.M0211461@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 等式の並ぶ順番が変ですね.
> 
> えっ? と言いますと。。

だから, (\zeta(s))^{-1} = \prod_{p: prime} (1 - 1/p^s)
から始めて, 最後に = \sum_{n=1}^\infty M\"ob(n)/n^s
となることを示すのです.

> とりあえず計算してみましたが
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1541.JPG
> どうしてもΣ_{n=1}^∞ M\"ob(n)/n^s=Π_{p∈P}(1-1/p^s)となる事が分かりません。

それは最後の一行前の所から最後の行への変形が
出鱈目だからです.

> ここもとりあえず
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1541.JPG
> のように左から順に展開していきましたら
> (1-1/p_1^s-1/p_2^s-1/p_4^s+1/(p_1p_2)^s+1/(p_1p_4)^s+1/(p_2p_4)^s-1/
> (p_1p_2p_3)^s-1/(p_1p_2p_4)^s+1/(p_1p_2p_3p_4)^s)(1-1/p_5^s)眈 とただえんえんと続いていくだけですが、、、
> それに引き算や足し算が取れて
> (-1)^1/p_1^s (-1)^2/(p_1p_2)^s (-1)^3/(p_1p_2p_3)^s眈 という風に積の形だけなる理由が分かりません。

そうなると言って間違えているのは貴方だけです.

 \prod_{i=1}^\infty (1 - 1/(p_i)^s)
 = \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1 - 1/(p_i)^s)
ですから, 有限個の項の積を先ず展開して,
そこで n を大きくしていくと, どんな項らの「和」になるか,
を考えるのです.

# (1 - 1/2^s)(1 - 1/3^s) = 1 - 1/2^s - 1/3^s + 1/6^s
# (1 - 1/2^s)(1 - 1/3^s)(1 - 1/5^s)
# = 1 - 1/2^s - 1/3^2 - 1/5^2 + 1/6^s + 1/10^s + 1/15^s - 1/30^s
# (1 - 1/2^s)(1 - 1/3^s)(1 - 1/5^s)(1 - 1/7^s)
# = 1 - 1/2^s - 1/3^2 - 1/5^2 + 1/6^s - 1/7^s
#   + 1/10^s + 1/14^s + 1/15^s + 1/21^s - 1/30^s + 1/35^s
#   - 1/42^s - 1/70^s - 1/105^s + 1/210^s

> In article <110121211206.M0211461@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 何故 Euler 積表示が Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s
> > と一致するのか, をちゃんと理解しておく必要があります.
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1719.JPG
> という風に証明を試みたのですがここからどうすればいいのでしょうか?

 [5] から [6] を引いても最終行のようにはなりませんよ.
 [6] のように (1/4^s) を掛けるのではなく,
 (1/5^s) を掛けないと, 先に進めません.

> あと,負の項らはどのように処理すればいいのでしょうか?

そうすれば, 「負の項」(というのが何か分かりませんが)など
出てきません.

# でもこれで何が残って何が消えるか分かるかな.
# ま, 素因数分解の一意性には違いないか.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp