ご回答誠に有難うございます。

>> 下記の3つの等式の証明を試みているのですが全く先に進めずにおります。
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def578.JPG
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/lemma1_1.JPG
> # URL にごみが付いていました.

これは大変失礼いたしました。

>> どのように変形してけばいいのでしょうか?
> (i) の M\"obius function M\"ob(n) に付随する
> Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty M\"ob(n)/n^s が
> \prod_{p: prime}(1 - 1/p^s) となることは簡単です.
> 後者を展開して出てくるのは, (-1)^k/(p_1 p_2 \cdots p_k)^s
> の形(但し, p_i らは相異なる素数)のものだけで,

えーとこれは
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1913.JPG
という具合になるという事でしょうか?
??の箇所はどのように理由付けできますでしょうか?

> n = 1 を除いては,
> ちょうど n = p_1 p_2 \cdots p_k  (p_i らは相異なる素数)
> のときだけ M\"ob(n) = (-1)^k で,

これはM\"ob(n)の定義からそうですね。

> それ以外のときは M\"ob(n) = 0 なので Dirichlet 級数の和に
> 現れないことに対応しているわけです.

Dirichlet級数の和とは
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/dirichlet_series1918.JPG
即ち,Σ_{n=1}^∞ a_n/n^sの事ですよね。
すいません。"現れないことに対応している"とはどういうことでしょうか?

> # 普通のゼータ級数の Euler 積表示では,
> # n = (p_1)^{e_1} (p_2)^{e_2} \cdots (p_k)^{e_k} ・㊧# ときも和に入れないといけないので,
> # \prod_{p: prime}(1 + 1/p^s + 1/(p^2)^s + \cdots + 1/(p^e)^s + \cdots )
> # という無限和の無限積を展開した,
> # のに比べれば, ずっとやさしい.

そうなんですか。ちょっと意味がよくわかりませんが。すいません。

> (\zeta(s))^{-1}
> = (\prod_{p: prime} (1 - 1/p^s)^{-1})^{-1}
> = \prod_{p: prime} (1 - 1/p^s)
> は宜しいですね.

はい。ζ関数はEuler積で表せる事という事から明らかですね。

> (ii) の von Mangoldt's function VM(n) に付随する
> Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty VM(n)/n^s ですが,
> やはり - \zeta'(s)/\zeta(s) が何かを考える方が良い.

了解いたしました。

> # ああ, \zeta'(s) を Dirichlet 級数として表す
> # 貴方の式は間違っています.
> # 1/n^s = \exp(-s \log n) ですから,

そうですね。

> # (d/ds)(1/n^s) = -(\log n) \exp(-s \log n) = - (\log n)/n^s.
> # \zeta'(s) = - \sum_{n=1}^\infty (\log n)/n^s

これはそのようになりますね。

> \zeta'(s) / \zeta(s) = (d/ds)(\log \zeta(s)) ですから,

あっこれは気づきませんでした。

>  = \sum_{p: prime} ((\log p)/p^s)/(1 - 1/p^s)
>  = \sum_{p: prime} (\log p)(1/p^s + 1/(p^2)^s + 1/(p^3)^s + \cdots )
> となります(等比級数の和の公式).

納得です。

> 最後の和で出てくるのは (\log p)/(p^r)^s = VM(p^r)/(p^r)^s
> ( p は素数) の形の項だけですから, ちょうど VM(n) に付随する
> Dirichlet 級数が出てくるわけです.

すいません。
Σ_{p∈P}Σ_{r=1}^∞(ln p)(p^s)^{r-1}
=Σ_{p∈P}Σ_{r=1}^∞(VM(p^r)(p^s)^{i-1}
から
=Σ_{n=1}^∞VM(n)/n^s
がどうして出てくるのでしょうか?

> (iii) の Divisor function Dvs(n, k) に付随する
> Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty Dvs(n, k)/n^s
> の等式ですが, Dvs(n, k) の定義は微妙に間違っていますね.
> Dvs(n, k) = \sum_{n_1 n_2 \cdots n_k = n} 1 の筈です.

『整数nをk個の整数因子の積で表す方法の個数である』となっていますが、、
Dvs(n, k) = \sum_{n_1 n_2 \cdots n_k = n} 1
はなるほど。掛ける順序は問わないのですね。

> (\zeta(s))^k
> = (\sum_{n_1=1}\infty 1/(n_1)^s)(\sum_{n_2=1}^\infty 1/(n_2)^s) \times
：
> となるわけです.

ありがとうございます。(iii)は上手くいきました。