ご回答誠に有難うございます。

>> うーんとつまり,ζ関数はζ∈Map(C,C∪{∞})のものと
>> ζ∈Map({s∈C;Re(s)>1},C)の2通りがあるのですね。
> 違います.
> ゼータ関数の元になっている関数は,
> Re(s) > 1 で定義された \sum_{n=1}^\infty 1/n^s で
> これは Re(s) > 1 での正則関数.

Re(s)>1で\sum_{n=1}^\infty 1/n^sが正則である事はどうすれば示せるのでしょうか?

> ゼータ関数を全複素数平面 C 上の有理型関数と見れば,

\sum_{n=1}^\infty 1/n^s という関数が全複素数平面上で正則であると見るのですね(有理形関数の定義)。

> C から C と {\infty} を合わせた所への正則関数と
> 考えて良い.

ζ:C→C∪{∞}と定義域を{s∈C;Re(s)>1}からCへ拡張していいのですね。

> ゼータ関数を普通に C に値を取る関数と考えるなら,
> C から s = 1 を除いたところで定義され, そこで
> 正則な関数で, s = 1 を 1 位の極として持つ.

"1位の極として持つ"ならζ(s)=Σ_{n=1}^∞1/n^s=Σ_{k=1}^∞c_k(s-1)^k+b_1/(s-1)


(しかもb_1=1(∵題意より留数が1なので))
と変形できる事はどうすれば分かりますでしょうか?

>> s=1の時は確かにΣ_{n=1}^∞1=∞と無限大を取りますね。
> その計算には意味がありません.

すいません。失礼いたしました。

>> 因みに複素数平面全体でζを考えた時の
>> ζの終集合はC∪{∞}になるのですね。
> 有理型関数としてはね.

つまりζ関数の定義は正式には二通り
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_of_zeta1647.jpg
あるのではなく
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_of_zeta1818.jpg
なのですね。納得です。

>> ところで有理形関数としては複素数平面全体で
>> ζ関数を考える事ができるとはどういうことでしょうか?
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/definition1955.JPG
>> が有理形関数の定義かと思います。
> その定義が間違っていることは別に述べました.

『C⊃Dを開領域とし,SをDの孤立点の集合とする時,Map(D,C∪{∞})∋fはD＼Sで正則でS∋∀xは極
となる時,fをDでの有理形もしくはfはD上での有理形関数と呼ぶ』
が正しい有理形関数の定義でしたね。

>> 有理形とは正則な領域のみで定義される関数ですよね。
>> 無限大を許すとはs=1でも微分可能と見做すという意味なのでしょうか?
> 有理型関数は, 領域から集積点を持たない集合

非集積点とは孤立点の事ですよね。なので当然,微分不可能ですよね。

> を除いたところで
> 定義されていてそこで正則な関数であり,
> 領域から集積点を持たない集合を除いても領域ですから,

『(X,T)を連結な位相空間とし,YをXの部分空間とする。{Y∩U;U∈T}∋Dが(開)領域
⇔(def) Dは連結』が(開)領域の定義なので
Cを位相空間とすると(Cの位相は標準位相)領域Dを含むCの位相部分空間C'に於いてDから孤立点らを取り除いた集合D'もC'上でも連結になってい
るのでD'も領域と確かに言えますね。

> その領域で正則な関数というのは正しいですが,
> 肝心なのは, 元の領域から除かれた各点は孤立特異点であり,

これはそうですね。
孤立点の定義より非集積点は孤立特異点(微分不可能でその点の或る近傍はその非集積点以外に非集積点を含まない)となりますね。

> そこで高々極であるということが仮定されているところです.

元の領域から除かれた各点は孤立特異点である事からどうして高々極という事が分かるのでしょうか?

> s_0 が f の n_0 位の極であれば,
> f(s) = (s - s_0)^{-n_0} g(s) ?? s = s_0 のまわりでは表示できます.

すいません。g(s)とsとの間が文字化けしてしまってます。
ここはどういう意味でしょうか?

>> えっ? ∀s∈Dにて微分可能とは限らないのでしょうか?
> だから, D = C \setminus {1} ですよ.
> \sum_{n=1}^\infty 1/n^s という表式が使えるところでは
> ありません. ちなみに,

C＼{1}ではζ関数は微分可能というわけですね。

>> d/dsΣ_{n=1}^∞1/n^s=Σ_{n=1}^∞d/ds(1/n^s) (∵Σ_{n=1}^∞1/n^sはD内で一様収束?)
>> =Σ_{n=1}^∞-sn^{s-1}/n^{2s}=Σ_{n=1}^∞-s/n^{s+1})
>> =-sΣ_{n=1}^∞ 1/n^{s+1})∈C
>> (∵今,Re(s)>1なので勿論Re(s+1)>1。従ってΣ_{n=1}^∞ 1/n^{s+1})もζ関数)
>> としてみたのですがダメでしょうか?
>> 又, (d/ds)(1/n^s) を間違えていますね.
> (d/ds)(1/n^s) = - (\log n)/n^s です.
> 全然ダメです.

すいません。公式から(d/ds)(1/n^s)=(d/ds)n^-s=-ln(n)/n^sでしたね。

>> それぞれの積分表示とは
>> Γ(s)=∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx
>> ζ(s)=1/((e^{2πis}-1)Γ(s))∫_c z^{s-1}/(e^z-1) dz
>> =1/((e^{2πis}-1)∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx)∫_c z^{s-1}/(e^z-1) dz
>> ですね。
> ちゃんと意味が,

Γ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものなのですよね。

> 特に下の方の意味が分かっていますか.
> 下の方がどのように導かれるか, 理解していますか.

すいません。どのようにして導かれるか分かりません。

> # 積分路 c が指定されていないので, 係数が正しいかどうか.

どのようにして積分路cを指定すればいいのでしょうか?

>> つまり,全複素平面上でζが解析接続である事を示すには
>> ∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx
>> =1/((e^{2πis}-1)∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx)∫_c z^{s-1}/(e^z-1) dz
>> が成り立つ事を示さねばならないのですね。
> そんな式は成り立ちませんよ.

そうでしたか。失礼いたしました。

> # 左辺が \Gamma(s) の積分表示で,
> # 右辺が \zeta(s) の積分表示であるのに,
> # どうして一致すると思うのですか.

そうですね。おっしゃるとおりです。

>> すいません。これはどのようにして示すのでしょうか?
> 先ず, どのように \zeta(s) の積分表示が
> (\Gamma(s) の積分表示の助けを借りて)導かれるか,
> を理解しましょう.

すいません。どのようにして導かれるのでしょうか?

> それが理解できれば, その積分表示で表される関数が,
> Re(s) > 1 では \sum_{s=1}^\infty 1/n^s に一致する
> ことが分かるでしょう.
> 次に, その積分表示で表される関数が, 全複素平面 C 上の
> 有理型関数になることを理解しましょう.
> ともあれ, 参考文献を良く読んで見て下さい.

はい,読んでみます。