ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def566.JPG
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem1_2.JPG
>> (i)ζ(s)は複素全平面に有理形関数として解析接続でき,s=1を除いて正則である。
>> (ii) s=1はζ(s)の1位の極であり,そこでの留数は1である。
>> (iii) 任意のsに対し,等式π^{-s/2}Γ(s/2)ζ(s)=π^{-(1-s)/2}Γ((1-s)/2)ζ(1-s)が
>> 成り立つ(但し,Γはgamma関数)。
>> の問題を証明を試みております。
>> (i)の証明に関して
>> 先ずζ関数はs=1では定義されてないので
>> "s=1を除いて"の箇所が意味不明なのですがこれはどういうことでしょうか?
> そこでは定義されていないなら, s = 1 を除くのは当然でしょう.
> まあ s = 1 は極になるので, 値として無限大を取ることを許して,
> 有理形関数としては複素数平面全体で考えることが出来ます.

うーんとつまり,ζ関数はζ∈Map(C,C∪{∞})のものとζ∈Map({s∈C;Re(s)>1},C)の2通りがあるのですね。
s=1の時は確かにΣ_{n=1}^∞1=∞と無限大を取りますね。

因みに複素数平面全体でζを考えた時のζの終集合はC∪{∞}になるのですね。

ところで有理形関数としては複素数平面全体でζ関数を考える事ができるとはどういうことでしょうか?
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/definition1955.JPG
が有理形関数の定義かと思います。有理形とは正則な領域のみで定義される関数ですよね。
無限大を許すとはs=1でも微分可能と見做すという意味なのでしょうか?

>> ζ関数が全複素平面へ有理形関数として解析接続できることを示す。
>> 先ずζ関数は有理形関数であることは
>> B⊂C∋aとし,2重連結D∈
>> {C_1〓C_2∈2^B;C_1:={z∈C;|z-a|≦r_1} and C_2:={z∈C;|z-a|<r_2},
>>               r_1,r_2竏・, r_1>r_2}
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/img003.jpg
>> にてζ関数は明らかにD上で正則なので
>> (∵ζ関数の定義よりΣ_{n=1}^∞1/n^sは∀s∈Dにて微分可能
>> (∵ζ関数はD上で一様収束するので(∵??)))分かる。
> そんなことでは分かりません.

えっ? ∀s∈Dにて微分可能とは限らないのでしょうか?
d/dsΣ_{n=1}^∞1/n^s=Σ_{n=1}^∞d/ds(1/n^s) (∵Σ_{n=1}^∞1/n^sはD内で一様収束?)
=Σ_{n=1}^∞-sn^{s-1}/n^{2s}=Σ_{n=1}^∞-s/n^{s+1})
=-sΣ_{n=1}^∞ 1/n^{s+1})∈C
(∵今,Re(s)>1なので勿論Re(s+1)>1。従ってΣ_{n=1}^∞ 1/n^{s+1})もζ関数)
としてみたのですがダメでしょうか?

>> ここの??の理由が分かりません。どうすれば示せますでしょうか?
> 問題はそれより前にあります.

それでは一体どうすれば、、、

>> そして,次に全複素平面上でζが解析接続である事を示したいのですが
>> 解析接続の定義は
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def566.JPG
>> のDef572の通りだと思います。
>> 今関数はζだけでgに相当するものが無くて困っています。
>> どうやって解析接続である事が示せますでしょうか?
> 通常, \Gamma(s) \zeta(s) の積分表示を用います.

それぞれの積分表示とは
Γ(s)=∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx
ζ(s)=1/((e^{2πis}-1)Γ(s))∫_c z^{s-1}/(e^z-1) dz
=1/((e^{2πis}-1)∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx)∫_c z^{s-1}/(e^z-1) dz
ですね。

つまり,全複素平面上でζが解析接続である事を示すには
∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx
=1/((e^{2πis}-1)∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx)∫_c z^{s-1}/(e^z-1) dz
が成り立つ事を示さねばならないのですね。

すいません。これはどのようにして示すのでしょうか?

>> (ii)の証明に関して
>> ζをLaurentの定理を使って領域DでLaurent展開するとζ(s)=Σ_{k=1}^∞1/n^s
>> =Σ_{k=0}^∞c_k(s-a)^k+Σ_{k=1}^∞b_k/(s-a)^k (但し,b_k,c_k∈C)となる
：
>> そしてb_2=b_3=…=0である事もどのようにして示せばいいのでしょうか?
>> これらが示せればRes_{s=1}ζ(s)=1は留数の定義から直ちに言えますね。
> いや, b_1 = 1 を示すのですよ.

あっそうでした。留数が1である事を示すのですからね。

> ともあれ,\Gamma(s) \zeta(s) についての積分公式を調べないと,
> 何も出てきません.

Γ(s)=∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx
ζ(s)=1/((e^{2πis}-1)∫_[0..∞] x^{s-1}e^-x dx)∫_c z^{s-1}/(e^z-1) dz
をどのように使うのでしょうか?

>> (iii)に関して
>> (左辺)=π^{-s/2}∫_[0..∞]exp(-x)x^{s/2}dxζ(s) (∵gamma関数の定義)
：
> (iii) は数論２の第７章の初めの方にある定理7.1です.
> そこだけ読んで, 良く考えれば, 分かります.

ちょっと調べてみたいと思います。