Re: Eが任意}の元ならE^{x_2}はa.e.μ_1可測.μ_1(E^{x_2})はa.e.μ_2可測.更に∫_{X_2} f(x_2)dμ_2(x)=lim[j→∞]∫_{X_2}f_j(x_2)dμ_2(x)

工繊大の塚本です.

In article <6175d82c-34d7-488c-9381-7151afda109f@t3g2000yqa.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 今,Aは可測矩形全体の集合A={E_1×E_2;E_1∈M_1,E_2∈M_2}なので
> 自動的にA_{σδ}⊂Mとなりますね(∵σ集合体の定義)。
> よって,命題1.6
> 「For any set E and any ε>0,
> there are sets E_1∈A_σ and E_2∈A_{σδ},
> such that E⊂E_1,E⊂E_2,and μ_*(E_1)≦μ_*(E)+ε,
> while μ_*(E_2)=μ_*(E).」
> より,
> μ_*(F)=μ_*(E)なるE⊂F∈A_{σδ}が採れて,
> しかもE,F∈M (∵Mの定義からA_{σδ}⊂M)なので
> μ(F)=μ(E)と言え、可算加法性が使えて,μ(F＼E)=0.
> 
> と上手くいきました。

こちらは結構ですが,

> 今,Z=F＼Eでμ(Z)=0だから
> (i) 「零集合EにおいてE⊂F∈A_{σδ}でμ(F)=0なら
> μ(F^{x_2})=0で

 (μ_1×μ_2)(F) = 0 からは, a.e. x_2 ∈ X_2 について
 μ_1(F^{x_2}) = 0 が言えるだけです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp