工繊大の塚本です.

In article <80b51df2-ac3f-472f-9bf8-b01f361b5e14@a12g2000pro.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> これはm(E_α) ≦ (1 / α) ∫_{R^d} |f(x)|dx <∞だから
> m(E_α)は単調減少は明らかという意味でしょうか?

示しておきたいのは lim_{α→∞} m(E_α) = 0 です.
単調減少は明らかでしたね.

> すいません。m(E_α) ≦ (1 / α) ∫_{R^d} |f(x)|dxという不等式は
> 何処から来ているのでしょうか?(何故1/α倍?)

単関数 α 1_{E_α} は |f(x)| で上から押さえられているのですから,

  α m(E_α) ≦ ∫_{R^d} |f(x)| dx

です.

> 今,∫_{0..∞}m(E_α)dα≧∫_{[0, ∞)} g(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
> でA_1,A_2,…,A_Nは互いに素で
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure1.jpg
> のようになっているんですよね。

はい.

> だからs_k=maxA_kでないならばs_k=supA_kととればいいだけの事のことでは
> ないでしょうか?

 t ∈ A_k では m_k ≦ m(E_t) ですが, s_k = sup A_k とするとき,
 m_k ≦ m(E_{s_k}) となるとは限らないのです.

 m(E_t) = m({ x ∈ R^d | |f(x)| > t }) としたので,
 m(E_t) は(右側連続ですが)左側連続ではないかも知れない
のです. m({ x ∈ R^d | |f(x)| = s_k }) > 0 の場合を
考えて下さい.

> その時,m(E_{A_k})=m_kとなると思います。

ですから, m_k ≦ m(E_{s_k}) とは限りません.

>≦ 「十分にs_kに近い…」の意味がよく分かりません。

 m_k ≦ m(E_{t_k}) とする為の工夫です.

> うーん,どうして重なるように採るのでしょうか?

後で切り離します.

> > 0 = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_N と並べれば
> >  h = Σ_{k=1}^N m(E_{t_k}) 1_{(t_{k-1}, t_k]}
> 
> これから
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure1.jpg
> の階段状の関数gとhは一致すると思います。

 A_k は可測集合というだけで, 区間であるとは限りません.
 g をもう少し分かりやすい単関数 h に取り替えているのです.

> つまり,∫_[0,∞)h(α)dαは
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure1.jpg
> の柱状グラフ部分の面積になるのですよね。

 h のグラフであればそうです.

> In article <090202175840.M0112006@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > となったことと同様のことを逆方向に考えているのです.
> > この対応がこの話の要です.
> 
> 「∫_{R^d} f_n(x) dx
>  = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n
>  = ∫_[0, ∞) g_n(α) dα」
> は積分範囲を全く無視して変形してあるように受取れますが。

中間の和の値が両方を結んでいます.

> ∫_{R^d} f_n(x) dx
> から
>  = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n
> の変形も
> Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n
> から
>  ∫_[0, ∞) g_n(α) dα
> の変形も積分範囲は考慮されていないようですが…。

和の値さえ一致すれば良いですね.

> Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}} + t_N 1_{E_{t_N}}は
> |f|で抑えられているという事はどうして分かるのですか?

 x での |f| の値 |f(x)| は

 (1) ある k (1 ≦ k ≦ N-1) について t_k < |f(x)| ≦ t_{k+1} と
     なっているか,
 (2) t_N < |f(x)| となっているか,
 (3) 0 ≦ |f(x)| ≦ t_1 となっているか,

のいずれかですね. それぞれの場合に

  Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}}(x) + t_N 1_{E_{t_N}}(x)
  ≦ |f(x)|

を示せば良いわけです.

> 類題を見つけました。

これは必要なら別に議論しましょう.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp