ご回答大変有難うございます。


> 以前に, |f(x)| を非負な単調増加な可測単関数列 { f_n } で近似する,
> という話を投稿しました. 今回の状況にあわせて少し設定と記法を変えて
> 述べておきます. 1 ≦ i ≦ n 2^n の自然数 i について,
>   E_{n, i} = { x | (i - 1)/2^n < |f(x)| ≦ i/2^n }
>            = E_{(i - 1)/2^n} ＼ E_{i/2^n}

以前はFを使われましたよね。
E_{n, i} = { x | (i - 1)/2^n < |f(x)| ≦ i/2^n }=F_{(i - 1)/2^n} ＼ F_{i/
2^n} …①


> とおき,
>   f_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n 1_{E_{n, i}} + n 1_{E_n}
> とすれば f_n が求めるものです. ここで 1_A は A の特性関数です.
>   ∫_{R^d} |f(x)| dx
>    = lim_{n→∞} ∫_{R^d} f_n(x) dx
>    = lim_{n→∞} (Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{n, i}) + n m(E_n))

単関数の積分の定義ですね。
∫_{R^d} |f(x)| dxは∫_{R^d} |f(x)| dmの意味だったのですね。


>    = lim_{n→∞} (Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n
>                                    ×(m(E_{(i-1)/2^n} - m(E_{i/2^n}))
>                    + n m(E_n))

これは①から言えるのですね。


>    = lim_{n→∞} (Σ_{i=0}^{n 2^n - 1} i/2^n m(E_{i/2^n})
>                   - Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{i/2^n})
>                   + n m(E_n))

これは単なる変形ですね。


>    = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n 2^n} 1/2^n m(E_{i/2^n}) …②
> となります.

これの変形が分かりません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?


> 一方, m(E_α) は α の単調減少関数ですから,

{x∈E;|f(x)|>α}はαに伴って小さくなっていきますよね。


>  可測であり,

これは∀r∈R,{x∈E;m(E_α)>r}∈Σ (但し,Σはルベーグ集合体)という意味ですよね。
どうしてルベーグ可測だと分かるのでしょうか?


>  m(E_α) ≧ g_n(α) となる非負な単調増加単関数列 g_n として,
>   g_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1_{((i - 1)/2^n, i/2^n]}
> を取れば,

∀n∈Nに対し,

>   ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα
>   ≧ ∫_{[0, ∞)} g_n(α) dα

これはg_n(α)=Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1_{((i - 1)/2^n, i/2^n]}(α)
=m(E_{i/2^n})・1 (但し,α∈((i-1)/2^n,i/2^n])
=m({x∈E;f(x)≧1/2^n})で
{x∈E;f(x)≧1/2^n}⊂{x∈E;|f(x)|>α} (∵α∈((i-1)/2^n,i/2^n])だから
m(E_α)≧m({x∈E;|f(x)|>α})(=g_n(α))で納得です。


> = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) × 1/2^n …③
> ですから,

1/2^n=m(((i-1)/2^n,i/2^n])ですから
これは単関数の積分の定義から言えますね。


>   ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα ≧ ∫_{R^d} |f(x)| dx

②「∫_{R^d} |f(x)| dx=lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n 2^n} 1/2^n m(E_{i/2^n})」と
③「∀n∈Nに対して∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα ≧Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) × 1/2^n」
とから言えますね。


> であることは分かります. さて, もし
>   ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
> であれば, m(E_α) ≧ g(α) となる非負可測単関数 g で
>   ∫_{[0, ∞)} g(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
>  となるものがあります.

これはどうしてあると分かるのでしょうか?


>  互いに交わらない可測集合 A_k と
>  m_k > 0 について,
>   g = Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}

この時,∀α>0に対してm(E_α)=m({x∈R^d;|f(x)|>α})、
g(α)=Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}(α) (但し,i∈{1,2,…,k},α∈A_i)
=m_iとなりますよね。どうしてm(E_α)≧m_iと分かるのでしょうか?


> とします. lim_{α→∞} m(E_α) = 0 ですから,

これはfはR^dでルベーグ積分可能と言ってあるので∫_R^d|f(x)|dx<∞
よってlim[α→∞]E_α=φでしょうからlim[α→∞]m(E_α)=0となるのですね。


>  s_k = sup A_k < ∞ です. s_k = max A_k ならば

すいません。supA_k<∞とはどういう意味でしょうか?
A_kは集合ですよね。