工繊大の塚本です.

In article <090128182742.M0318331@cs2.kit.ac.jp>
Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> 任意の ε > 0 について, E ∩ B_n ⊂ U_n となる開集合 U_n で
> m^*(U_n＼B_n) < ε/2^n, m^*(U_n＼(E ∩ B_n)) < ε/2^n と
> なるものを取れば,

について,

In article <8b2c1736-764b-4261-9818-08d6c16a0dea@q30g2000prq.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。ここが未だ理解できずにいます。
> n=1に対して,B_1とE ∩ B_1両方をε/2で抑えられるU_1が採れ,

 B_1 をおさえてはいません. B_1 ⊂ U_1 は仮定していません.
 m^*(U_1＼B_1) < ε/2 を要求しています.

> n=2に対して,B_2とE ∩ B_2両方をε/2^2で抑えられるU_2が採れ,
> ：
> となっているのですよね。
> 疑問に思うのは, E ∩ B_1がB_1よりかなり小さい場合は
> U_1とB_1は隙間が小さいのでε/2で抑えられるかもしれませんが
> E∩B_1はU_1で抑えても隙間がだいぶあるので
> m^*(U_1＼(E∩B_1))≦ε/2となってしまうのではと考えるのですが…。
> やはり,勘違いしてますでしょうか?

先ず, B_n ⊂ U'_n となる開集合 U'_n で m^*(U'_n＼B_n) < ε/2^n
となるものが取れます. 一辺の長さが 1 より少し大きい
開区間の積集合を取れば良い.

次に, E ∩ B_n が有限外測度の Caratheodory 可測集合で,
 Lebesgue 可測であることが分かっているのですから,
 E ∩ B_n ⊂ U''_n となる開集合 U''_n で
 m^*(U''_n＼(E ∩ B_n)) < ε/2^n となるものが取れます.

 U_n = U'_n ∩ U''_n が条件を満たす開集合となります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp