工繊大の塚本と申します. 元の問題は

In article <b654ee4f-79e1-46c0-a691-7f54de608b6f@e1g2000pra.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Consider the exterior Lebesgue measure m*.
> Prove that a set E in R^d is Caratheodory measurable if and only if E
> is Lebesgue measurable.
> [Hint: If E is Lebesgue measurable and A is any set,choose a G_δ set G
> such that A⊂G and m*(A)=m(G). Conversely,if E is Caratheodory
> measurable and m*(E)<∞,choose a G_δ set G with E⊂G and m*(E)=m*(G).
> Then G＼E has exterior measure 0.]

で, Lebesgue 外測度について Caratheodory 可測であることと,
別の Lebesgue 可測であることの定義が一致することを示せ,
という問題ですね.

In article <0a41dd59-f3d3-46a3-b6a2-17a7f6d79303@r36g2000prf.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 訂正です。
> この題意は,
> 「∀A⊂R^d,m*(A)=m*(A∩E)+m*(A∩E^c)
> (但し,m*は(Caratheodory)外測度)

これは「 (但し, m^* は Lebesgue 外測度)」 ですね.

> ⇔inf{m*(U＼E)∈[0,∞];E⊂U∈T,TはR^dの通常の位相}=0
> (但し,m*はLebesuge外測度)」
> だと思います。

 Legesgue 可測の定義としてこれを採用するのですね.

> そして
> [命題]E⊂R^dならm^*(E)=inf{m^*(U);E⊂U∈T} (但し,TはR^dの通常の位相)
> を見つけました。

以下の証明は開集合でなく開区間を用いた Lebesgue 外測度の
定義から出発してもそれほど変わりませんが, この命題を使う
としましょう.

先ず E が Lebesgue 外測度について Caratheodory 可測であり,
 m^*(E) < ∞ とすると,

> これを利用するとm^*(E)=inf{m^*(U);E⊂U∈T}から
> 0<∀ε∈R, E⊂∃U∈T;m^*(U)-m^*(E)<ε
> ε>m^*(U)-m^*(E)=m^*(U)-m^*(U∩E)=m^*(U∩E^c)
>  (∵∀A⊂R^d,m*(A)=m*(A∩E)+m*(A∩E^c))
> =m^*(U＼E)
> よって下限の定義よりinf{m^*(U);E⊂U∈T}=0.

これは「よって下限の定義より inf { m^*(U＼E) ; E ⊂ U ∈ T } = 0.」
ですね. これで Lebesgue 可測であることは良いですね.

 m^*(E) = ∞ の場合は, ∞ - ∞ < ε には意味がありません
から別にしないといけません.

 R^d を可算個の有界な Borel 集合 {B_n} の交わらない和に分けます.
 E が Lebesgue 外測度について Caratheodory 可測であれば
 E ∩ B_n も Lebesgue 外測度について Caratheodory 可測で
あり, m^*(E ∩ B_n) ≦ m^*(B_n) < ∞ より上の議論から
 Lebesgue 可測になります.
任意の ε > 0 について, E ∩ B_n ⊂ U_n となる開集合 U_n で
 m^*(U_n＼B_n) < ε/2^n, m^*(U_n＼(E ∩ B_n)) < ε/2^n と
なるものを取れば, U = ∪_{n=1}^∞ U_n について,

  U＼E = ∪_{n=1}^∞ (U_n＼E)
       = ∪_{n=1}^∞ ((U_n＼E) ∩ B_n)
          ∪ ∪_{n=1}^∞ ((U_n＼E)＼B_n)
       ⊂ ∪_{n=1}^∞ (U_n＼(E ∩ B_n)) ∪ ∪_{n=1}^∞ (U_n＼B_n)

となるから m^*(U＼E) < 2ε となり, E は Legesgue 可測です.

> 逆にinf{m*(U＼E)∈[0,∞];E⊂U∈T}=0なら
> 0<∀ε∈R, E⊂∃U∈T;m^*(U＼E)<εで
> これから,∀A⊂R^d,m*(A)=m*(A∩E)+m*(A∩E^c)に持っていけません。
> 
> どうすればいいのでしょうか? ヒントもいまいち意味が分かりません。

 Hint は, A に対して, 自然数 n について, A ⊂ U_n の
開集合 U_n で m^*(A) ≦ m^*(U_n) < m^*(A) + 1/n と
なる物を選んで, G = ∩_{n=1}^∞ U_n をとれば,
 G は G_δ 集合で, A ⊂ G であり, m^*(G) ≦ m^*(U_n)
 < m^*(A) + 1/n より, m^*(G) ≦ m^*(A) であり, 一方,
 m^*(A) ≦ m^*(G) ですから, m^*(G) = m^*(A) となる
ことをいっています. G は Borel 集合で(Lebesgue 外測度
について Caratheodory)可測であることも認めているよう
ですね. これはさておき,

 E を Lebesgue 可測とすると, 自然数 n について,
 E ⊂ O_n となる開集合 O_n で m^*(O_n＼E) < 1/n となるもの
を選んで, H = ∩_{n=1}^∞ O_n をとれば, H は G_δ 集合
で, E ⊂ H であり, m^*(H＼E) ≦ m^*(O_n＼E) < 1/n より,
 m^*(H＼E) = 0 となります.

普通は G_δ 集合 H と, 外測度 0 の集合 H＼E が
 Lebesgue 外測度について Caratheodory 可測であることと,
 Lebesgue 外測度について Caratheodory 可測である集合が
 σ加法族を為すことから, E = H＼(H＼E) も Lebesgue
外測度について Caratheodory 可測であることを導くのだと
思います.

直接, 任意の集合 A について m^*(A) = m^*(A ∩ E) + m^*(A ∩ E^c)
を示すことも可能である筈ですが, 簡単な議論をちょっと
思いつきません.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp