ご回答大変有難うございます。

>> [命題]任意の二つの集合 A,B について、A から B への単射があるか、 または B
>> から  A への単射がある の証明に取り組んでいます。
>> A=B=φの時は写像の定義からf:A→Bの単射が存在する。 A=φ,B≠φの時は
>> 写像の定義からf:A→Bの単射が存在する。 A≠φ,B=φの時は写像の
>> 定義からf:B→Aの単射が存在する。
> 形式的な定義からはそうなります.

はい。

>> A≠φ,B≠φの時は a_1∈A,b_1∈Bなる元が採れ,f(a_1)=b_1と決める。
：
>> なる元が採れ,f(a_2)=b_2と決める。 :
> で, 以下どうするのですか.

片方がφになればfは単射という事になります。

>> 片方がφとならない限り,∀a∈A,∃b∈Bが言える(∵選択公理)。

片方ともφにならないなら,∀a∈Aに対してb∈Bが唯一つ決めれた事になるのでこの時のfも単射となります。

> a_1, a_2, ... とするだけでは, A の可算個の部分集合の
> ところで決まってお仕舞いです.

はい。

AもBも可算の場合はAもBもN(:自然数全体)に対等だから
∃f:A→N:全単射, ∃g:N→B:全単射だから
gf:A→B:単射が採れお仕舞い。

Aが非可算でBが可算の場合は#A=アレフ1,#B=アレフ0で
AはR(:実数全体)に対等だから∃f:R→A:全単射,
BはN(:自然数全体)に対等だから∃g:B→N:全単射,
h:N→RをN∋∀b→h(b):=b∈Rとすればこのfも全単射なので(∵選択公理)
B→Aの単射としてfhgが採れるお仕舞い。
Aが可算でBが非可算の場合も同様。

> A 全体で決まる, 或いは
> B 全体で決まる, ということを保証しなければなりません.

これはAとBが非可算集合の場合ですよね。
#A=#B=アレフ1ならAとBとR(:実数全体)は対等なので(∵非可算集合の定義),
AとR,BとRには全単射が存在する。従って,AとBにも全単射が存在する。

#A=アレフ2,#B=アレフ1ならAは2^Rと対等(∵アレフ2の定義)だから
∃f:2^R→A:全単射, ∃g:B→R:全単射.
そこでh:R→2^R;R∋∀r→{r}∈2^Rとすればこのhは単射である。
従って,fhg:B→Aは単射となる。

あと,#A=アレフ2,#B=アレフ2や#A=アレフ1,#B=アレフ2の場合とかも同様。

とかしてみたのですが。

>> 従って任意の二つの集合 A,B について、
>> A から B への単射があるか、または B
>> から A への単射がある。(終)
>> と証明してみたのですがこれで正しいでしょうか?
> 最初のアイデアとしてはそういうことでしょうが,
> これでは証明にはなっていません.

そうですか。

> Zorn の Lemma を使うのが良いでしょう.

ZornのLemmaとは「順序集合Xでその任意の鎖(Xの部分集合Aで全順序集合になっているもの)が上界を持てばXは少なくとも一つの極大要素があ
る
(つまり,{x∈X;{a∈X;x<a}=φ}≠φ)」
ですね。これをどのように利用するのでしょうか?