いつも大変お世話になっています。

[命題]任意の二つの集合 A,B について、A から B への単射があるか、または B から  A への単射がある
の証明に取り組んでいます。

A=B=φの時は写像の定義からf:A→Bの単射が存在する。
A=φ,B≠φの時は写像の定義からf:A→Bの単射が存在する。
A≠φ,B=φの時は写像の定義からf:B→Aの単射が存在する。

A≠φ,B≠φの時は
a_1∈A,b_1∈Bなる元が採れ,f(a_1)=b_1と決める。
A＼{a_1}=φ,B＼{b_1}≠φならf:A→Bは単射。
A＼{a_1}≠φ,B＼{b_1}=φならf^-1:B→Aは単射。
A＼{a_1}=φ,B＼{b_1}=φならf:A→Bは全単射。
A＼{a_1}≠φ,B＼{b_1}≠φなら
a_2∈A＼{a_1},b_2∈B＼{b_1}なる元が採れ,f(a_2)=b_2と決める。
A＼{a_1,a_2}=φ,B＼{b_1,b_2}≠φならf:A→Bは単射。
A＼{a_1,a_2}≠φ,B＼{b_1,b_2}=φならf^-1:B→Aは単射。
A＼{a_1,a_2}=φ,B＼{b_1,b_2}=φならf:A→Bは全単射。
A＼{a_1,a_2}≠φ,B＼{b_1,b_2}≠φなら
a_3∈A＼{a_1},b_3∈B＼{b_1}なる元が採れ,f(a_2)=b_2と決める。
:

片方がφとならない限り,∀a∈A,∃b∈Bが言える(∵選択公理)。

従って任意の二つの集合 A,B について、A から B への単射があるか、または B から
 A への単射がある。(終)

と証明してみたのですがこれで正しいでしょうか?


吉田京子