ご回答誠に有難うございます。

>> この題意ではx∈CでのOKだが
> u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) のベキ級数展開と
> その収束半径の話だけなら, x \in C でも構いませんが,

了解です。

>> 実践的にはuexp(xu)/(exp(u) - 1)がらみの議論では
>> 0<xでのケースでしか議論されないという意味でしょうか?
> \zeta(x, s) を調べるのですから, x は実数で,
> 0 < x \leq 1 の場合を扱うのが目標です.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_Bernoulli_polynomial__00.jpg
>> がBernulli数やB_n(x)の定義ですがこの場合,
> 加藤和也・黒川重信・斎藤毅著 岩波講座 現代数学の基礎「数論１」
> での定義通り, Bernoulli 数を u/(\exp(u) - 1) のベキ級数展開
> u/(\exp(u) - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
> の係数から定義し,
> B_n(x) = \sum_{i=0}^n B_i x^{n-i} で Bernoulli 多項式を
> 定義するなら,
>> どのようにΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)の証明は
>> どのように進めていけばいいのでしょうか?
>  u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) = (u/(\exp(u) - 1)) \exp(xu)
>   = (\sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n)(\sum_{m=0}^\infty (x^m/m!) u^m)
> の乗積級数
>  = \sum_{k=0}^\infty (\sum_{n+m=k} (B_n/n!)(x^m/m!)) u^k
>  = \sum_{k=0}^\infty ((\sum_{i=0}^k (k!/(i!(n-i)!) B_i x^{n-i})/k!) u^k
>  = \sum_{k=0}^\infty (B_k(x)/k!) u^k
> が, \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n が絶対収束し,
> \sum_{m=0}^\infty (x^m/m!) u^m が絶対収束するとき
> 絶対収束すること, を用いれば示されます.

お陰さまで
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12023__01.jpg
と上手くいきましたが最後のΣ_{k=0}^∞B_n(x)u^k/k!が絶対収束である事も言わねばならないのは何故なのでしょうか?