ご回答誠に有難うございます。

>> Prop192.12005の題意での条件はRe(x)>0ではなく
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__03.jpg
>> でも大丈夫なようです。特に証明内でRe(x)>0でなくても
>> 何ら影響を与えませんので。
> 使うのは実数 x が正のときだけ, ということを忘れなければ,
> u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) の性質は, x が実数というだけで
> 同じいというのはそうです.

この題意ではx∈CでのOKだが実践的にはuexp(xu)/(exp(u) - 1)がらみの議論では0<xでのケースでしか議論されないという意味でしょうか?

>>> だから, u = 0 のどんな近傍でも良いですから,
>>> \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1)
>>> の成立が分かれば,
>> すいません。意味が分かりません。
> それはそれで構いませんが,

むむっ。

>> たとえば|u|<2πから|u|<2の範囲に縮めて,
>> 0<x≦1では |B_n(x)/n!|≦1/2^nでしたから
>> 0<x≦1の時,|(B_n(x)/n!)u^n|≦(1/2^n)u^nが成立ち
>> |u|<2の時,Σ_{n=0}^∞(1/2^n)u^n=Σ_{n=0}^∞(u/2)^n=1/(1-u/2)∈Rですから
>> WeierstrassのM-testより,Σ_{n=0}^∞u^nB_n(x)/n!は0<x≦1の時,
>> |u|<2の範囲で一様収束するので,項別微分可能となり,
>> (∂^h/∂x^h Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!)|_{x=0}=(∂^h/∂x^h
>> uexp(xu)/(exp(u)-1))|_{x=0}成立を突破でき,
>> 最終的に0<x≦1且つ|u|<2の範囲で
>> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立が言えますね。
> 項別微分が可能であろうが何であろうが,
> Bernulli 数や B_n(x) がどのように定義されているか,
> の議論なしに, そんな式の成立は証明できないでしょう.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_Bernoulli_polynomial__00.jpg
がBernulli数やB_n(x)の定義ですがこの場合,
どのようにΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)の証明はどのように進めていけばいいのでしょうか?

>>> 後者の |u| < 2 \pi での正則性から,
>>> 前者の収束半径が 2 \pi 以上であることが分かり,
>>> 後は何も示す必要がない筈です.
>> え?  |u|<2の範囲で
>> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立が分かったら
>> 後者uexp(xu)/(exp(u)-1)が|u|<2πで正則が分かったら
>> (これは簡単だと思いますが)どうして|u|<2πの範囲でも
>> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立の
>> 拡張が可能なのでしょうか?
> ベキ級数展開は一意的ですから.

おお,そうでした!

>> お蔭様で上手くいきました。
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1206__00.jpg
> それは収束半径とはどのようなものであるか, の一般論に
> 過ぎませんから,

了解です

>>> そもそも, そういう話が必要ですか.
> と申し上げたわけです.

これも了解です。

>> はい。Prop192.1206のお陰でProp192.121の一番のネックだった箇所が
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__03.jpg
：
>>> <http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__00.pdf>
>>> は, 証明の一行目からして無意味です.
> が御理解いただけましたか.

はい。堂々巡りして,結局の所,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12023__00.jpg
さえ示せれば終わりなのですが一体どのようなrが採れますでしょうか?